Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €10 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 2% per metus. Reikalaujama grąža 4% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €10 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 13 metus atidedate €300. Sąskaita moka 6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €3006% / 12N = 156
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €200 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €12 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 3% per metus. Kapitalo kaina 8%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €200 000CF1 = €12 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €7 500, €4 000, €5 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 4 000CF3 = 5 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 8 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 4,5%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 7%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 8%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 4,5%n = 8y0 = 7%y1 = 8%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €1 045, jos pajamingumas iki išpirkimo 4% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 5,2 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas sumažėja 100 baziniais punktais.
P0 = €1 045y = 4%D = 5,2Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €2 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,25, įmonės akcijų beta 1. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 1. Mokesčio tarifas 25,8%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 4%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 44?
μ = 60σ = 20x = 44
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 12 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 12k = 4
N =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,5. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 6p = 0,5
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 245 ir 256 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 245x2 = 256
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 70 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.70%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 76,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 62,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,3. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?
p ≈ 0,3E = 0,02590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 76,2, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76,2s = 12n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3? Standartinis nuokrypis – 4. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 4E = 390%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 49?
n = 6ŷ = 49
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 500000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 12 000/(0,08 − 0,03) = 240 000,00
NPV
NPV = 240 000,00 − 200 000 = €40 000,00
Atsakymas
NPV = €40 000,00
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 34,88 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(30%) = 639,51
NPV(35%) = −14,23
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 30 + 5·639,51/(639,51 − (−14,23)) = 34,89%
tiksliai: NPV(34,88%) = 0 → IRR = 34,88%
Atsakymas
IRR = 34,88%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 1,418 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 5,2/1,04 = 5
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −5·(−0,01) = 5%
P ≈ 1045·(1 + 0,05) = €1 097,25
Atsakymas
P = €1 097,25
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,1 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·4%·(1 − 0,2) = 8,1%
Atsakymas
WACC = 8,1%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 7,878 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1/(1 + 0,742·0,25) = 0,8435
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 0,8435·(1 + 0,742·1) = 1,469
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 1,469·4% = 7,878%
Atsakymas
re = 7,878%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,9
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,8
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Atsakymas
P = 0,2119
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 495
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Atsakymas
N = 495
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1094
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,56 = 0,01563
P(X = 1) = 6·0,5·0,55 = 0,09375
Sudėkite
P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094
Atsakymas
P = 0,1094
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7263
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (245 − 250)/5 = −1
z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2
Plotas tarp
P = Φ(1,2) − Φ(−1) = 0,8849 − 0,1587 = 0,7263
Atsakymas
P = 0,7263
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 70,2 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 tšk.
Atsakymas
x = 70,2 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 21,1 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 76,5 − 62,5 = 14
Standartinė paklaida
SE = √(15²/40 + 15²/30) = 3,623
Paklaidos riba
E = 1,96·3,623 = 7,101
Intervalas
14 ± 7,101 → [6,899, 21,1]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 21,1 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 910
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,3·0,7/0,025² = 909,2
Apvalinkite aukštyn
n = 910
Atsakymas
n = 910
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 5
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·4/3)² = 4,811
Apvalinkite aukštyn
n = 5
Atsakymas
n = 5
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9944
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 80/5 = 16
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Syy = Σ(y − ȳ)² = 214
Koreliacijos koeficientas
r = 92/√(40·214) = 0,9944
Atsakymas
r = 0,9944
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 7,198
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 290/6 = 48,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Regresijos tiesė
b = 236/70 = 3,371
a = 48,33 − 3,371·7 = 24,73
ŷ = 24,73 + 3,371·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (49 − 24,73)/3,371 = 7,198
Atsakymas
x = 7,198
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.