Anuitetas 19 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €8 000. Palūkanų norma 3% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €8 000i = 3%n = 19
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€15 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metus. Palūkanų norma – 5,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €15 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €60 000. Kiekvienų metų pabaigoje 5 metų ji generuoja €13 000, o po to gali būti parduota už €15 000. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €60 000CF = €13 000S = €15 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas A kainuoja €30 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €17 000, €11 500, €7 000. Projektas B kainuoja €32 000 ir grąžina po €9 500, €13 000, €16 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 5%YTM = 3,5%n = 4
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €890. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 9P = €890
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,2, reikalaujama grąža 10,1%. Nerizikinga norma 3,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,2re = 10,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €5 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 14%. Jos skolą sudaro 4 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 4%, iki išpirkimo 12 metų), kurių kiekviena parduodama už €871. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 174,5 ir 186,75 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 174,5x2 = 186,75
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).
μ = 65σ = 10P = 99%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −6,7, o standartinis nuokrypis 5,3. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 15d̄ = −6,7sd = 5,395%t(14) = 2,145
viršutinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 25. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 25E = 390%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 77,1, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,1s = 4n = 16
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 12. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 12E = 2,590%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 129Σx² = 55Σy² = 3381Σxy = 365
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 29). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(7, 29)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 114590 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5703)/0,03 = 14,32
Dabartinė vertė
PV = 8 000·14,32 = €114 590,39
Atsakymas
PV = €114 590,39
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 285,8 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 15 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €285,83
Atsakymas
A = €285,83
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −1406 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
13 000·3,791 = 49 280,23
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
15 000/1,611 = 9 313,82
NPV
NPV = −60 000 + 49 280,23 + 9 313,82 = −€1 405,95
Atsakymas
NPV = −€1 405,95
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 7,318 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 9 500 − 17 000 = −7 500
ΔCF2 = 13 000 − 11 500 = 1 500
ΔCF3 = 16 500 − 7 000 = 9 500
Skirtumo IRR
NPVΔ(7%) = 55,64
NPVΔ(8%) = −117,03
r* = 7,318%
Atsakymas
r* = 7,318%
Patikra: esant 7,318%, abi NPV lygios €1 489,53.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1056 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €25,00, i = 0,0175, N = 8
Kuponų dabartinė vertė
€25,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €185,13
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8704 = €870,41
Kaina
P = €1 055,54
Atsakymas
P = €1 055,54
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 4,514 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€890 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84
YTM = 4,514%
Atsakymas
YTM = 4,514%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 9 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (10,1% − 3,5%)/1,2 = 5,5%
Rinkos grąža
rm = 3,5% + 5,5% = 9%
Atsakymas
rm = 9%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,06 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (620 − 500)/60 = 2
Atsakymas
z = 2
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 5,24
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,25 + 2·0,1 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,4
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,1 + 16·0,35 + 36·0,3 = 16,8
Dispersija
Var(X) = 16,8 − 3,4² = 5,24
Atsakymas
Var(X) = 5,24
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 7,293
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,65, Var(X) = 2,127, σX = 1,459
Tiesinis pokytis
σY = |5|·1,459 = 7,293
Atsakymas
σY = 7,293
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·1,65 + 20 = 28,25.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,5858
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5
z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25
Plotas tarp
P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858
Atsakymas
P = 0,5858
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 88,26 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Atgal į x
x = 65 + 2,326·10 = 88,26 tšk.
Atsakymas
x = 88,26 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = −3,765 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 14, t = 2,145
Paklaidos riba
E = 2,145·5,3/√15 = 2,935
Intervalas
−6,7 ± 2,935 → [−9,635, −3,765]
Atsakymas
viršutinis rėžis = −3,765 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 188
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·25/3)² = 187,9
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 188
Atsakymas
n = 188
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 63
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·12/2,5)² = 62,35
Apvalinkite aukštyn
n = 63
Atsakymas
n = 63
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9574
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 365 − 15·129/5 = −22
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 3381 − 129²/5 = 52,8
Koreliacijos koeficientas
r = −22/√(10·52,8) = −0,9574
Atsakymas
r = −0,9574
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 1,7
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.