Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 19,5% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.
r = 19,5%m = 4
EAR = %
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 12 metus atidedate €500. Sąskaita moka 4,8 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €5004,8% / 12N = 144
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €200 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €14 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 4% per metus. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €200 000CF1 = €14 000g = 4%r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €24 000, €24 500, €21 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 24 000CF2 = 24 500CF3 = 21 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 5 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 7%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 6%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 5y0 = 6%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 20 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 8%), parduodama už €1 165. Emitentas gali ją išpirkti po 4 metų už €1 080 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 8%P = €1 165išpirkimo kaina = €1 080išpirkimas po 4 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,6. Jos nuosavo kapitalo kaina 10%, skolos kaina prieš mokesčius 6%, o mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC.
D/E = 0,6re = 10%rd = 6%T = 30%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 1,2. Ji planuoja 0,75 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 28%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 5,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 92,5 z įvertį z.
μ = 100σ = 15x = 92,5
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 5p = 0,1
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė viršija 156,4 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4> 156,4 g
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 96,7, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 96,7s = 15n = 100
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 47,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 47,8σ = 12n = 4990%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4,5, 16). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 16)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: EAR = 20,97 %
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laikotarpio norma
r/m = 0,195/4 = 0,04875
Kapitalizuokite per vienus metus
EAR = (1 + 0,04875)4 − 1 = 1,21 − 1 = 20,97%
Atsakymas
EAR = 20,97%
Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 97108 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 14 000/(0,1 − 0,04) = 233 333,33
NPV
NPV = 233 333,33 − 200 000 = €33 333,33
Atsakymas
NPV = €33 333,33
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 34,53 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(30%) = 2 517,07
NPV(35%) = −243,87
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1165 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
Skaitinis sprendimas
y = 5%: €1 172,19
y = 6%: €1 132,67
YTC = 5,179%
Atsakymas
YTC = 5,179%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 6,502%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,825 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10% + 0,375·6%·(1 − 0,3) = 7,825%
Atsakymas
WACC = 7,825%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 12,16 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 1,2·(1 + 0,72·0,75) = 1,848
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 1,848·5,5% = 12,16%
Atsakymas
re = 12,16%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,94
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (92,5 − 100)/15 = −0,5
Atsakymas
z = −0,5
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 0,8047
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Dispersija
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Atsakymas
σ = 0,8047
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,9185
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,95 = 0,5905
P(X = 1) = 5·0,1·0,94 = 0,3281
Sudėkite
P = 0,5905 + 0,3281 = 0,9185
Atsakymas
P = 0,9185
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9332
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 160 g, σT = 1,2·√4 = 2,4 g
Standartizuokite
z = (156,4 − 160)/2,4 = −1,5
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8413
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartizuokite
z = (0 − 10)/10 = −1
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 105,5
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Paklaidos riba
E = 1,729·18/√20 = 6,959
Intervalas
98,5 ± 6,959 → [91,54, 105,5]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 105,5
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 6,722 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (6·4,5² + 4·6²)/10 = 26,55
sp = 5,153
Paklaidos riba
E = 2,228·5,153·√(1/7 + 1/5) = 6,722
Atsakymas
E = 6,722 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,2
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 44,98
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·12/√49 = 2,82
Intervalo rėžis
L = 47,8 − 2,82 = 44,98
Atsakymas
L = 44,98
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9922
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 3555 − 35·467/5 = 286
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 45695 − 467²/5 = 2077
Koreliacijos koeficientas
r = 286/√(40·2077) = 0,9922
Atsakymas
r = 0,9922
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −2,15
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Regresijos tiesė
b = −23/10 = −2,3
a = 21,6 − (−2,3)·3 = 28,5
ŷ = 28,5 − 2,3·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 28,5 + (−2,3)·4,5 = 18,15
Liekana
e = 16 − 18,15 = −2,15
Atsakymas
e = −2,15
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.