Investuojate €1 000 esant 4% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 15 metų.
PV = €1 000r = 4%t = 15
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 25 metų įnešate €5 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 3% per metus. Kiek bus sąskaitoje 25-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €5 000i = 3%n = 25
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €80 000, tarnauja 9 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €1 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 10%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €80 000M = €1 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas A kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €11 500, €7 000, €4 500. Projektas B kainuoja €22 000 ir grąžina po €5 500, €9 000, €11 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 3 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 4,5%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 4,5%n = 3y0 = 3,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 4 metų ir parduodama už €950. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 4P = €950
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €8 000 000, o skola – €3 000 000. Jos WACC 8,23%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 30%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 1,1. Ji planuoja 1 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 20%, nerizikinga norma 1%, o rinkos rizikos premija 4%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 188 z įvertį z.
μ = 170σ = 12x = 188
z =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 5 raudoni ir 5 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
5 / 5
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €1. Laimite €5 su tikimybe 0,2 ir €50 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €1€5: p = 0,2€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9476. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9476
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 70 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,6. Kokia yra 99 % intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
90%n₁ = 25E₁ = 4,699%n₂ = 100
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 33. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 33E = 395%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 12 studentų, vidutinis rezultatas 100, standartinis nuokrypis 6. 2 grupė: 9 studentų, vidutinis rezultatas 102,9, standartinis nuokrypis 9. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 12x̄₁ = 100s₁ = 6n₂ = 9x̄₂ = 102,9s₂ = 9
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
64 matavimų imties vidurkis – 47,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 47,9σ = 10n = 6490%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 1822 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laipsnio rodiklis
r·t = 0,04·15 = 0,6
e0,6 = 1,822
Būsimoji vertė
FV = 1 000·1,822 = €1 822,12
Atsakymas
FV = €1 822,12
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 187765 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,03)25 − 1)/0,03 = 36,46
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 5 000·36,46·1,03 = €187 765,21
Atsakymas
FV = €187 765,21
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 14891 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Metinė pirkimo kainos dalis
80 000/5,759 = 13 891,24
EAC
EAC = 13 891,24 + 1 000 = €14 891,24
Atsakymas
EAC = €14 891,24
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 5,979 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 5 500 − 11 500 = −6 000
ΔCF2 = 9 000 − 7 000 = 2 000
ΔCF3 = 11 500 − 4 500 = 7 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(5%) = 146,64
NPVΔ(6%) = −3,05
r* = 5,979%
Atsakymas
r* = 5,979%
Patikra: esant 5,979%, abi NPV lygios €864,12.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 0,7477 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Skaitinis sprendimas
P(6%) = €965,35, P(7%) = €932,26
YTM = 6,458%
Atsakymas
YTM = 6,458%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 10 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
WACC skolos dalis
0,2727·5%·(1 − 0,3) = 0,9545%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (8,23% − 0,9545%)/0,7273 = 10%
Atsakymas
re = 10%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 8,92 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 1,1·(1 + 0,8·1) = 1,98
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1% + 1,98·4% = 8,92%
Atsakymas
re = 8,92%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 19,94
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (188 − 170)/12 = 1,5
Atsakymas
z = 1,5
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2222
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222
Atsakymas
P = 0,2222
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,5 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 4 (p = 0,2), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)
Laukiamoji vertė
E(G) = 4·0,2 + 49·0,01 − 1·0,79 = 0,5 €
Atsakymas
E(G) = 0,5 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,94
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9476)/2 = 0,9738
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9738 ir nuskaitykite z.
z = 1,94
Atsakymas
z = 1,94
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 521 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 0,52·40 = 521 h
Atsakymas
x = 521 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 3,602
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(25/100) = 0,783
Nauja paklaidos riba
E₂ = 4,6·0,783 = 3,602
Atsakymas
E₂ = 3,602
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 465
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·33/3)² = 464,8
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 465
Atsakymas
n = 465
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −0,8872
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (11·6² + 8·9²)/19 = 54,95
sp = 7,413
Standartinė paklaida
SE = 7,413·√(1/12 + 1/9) = 3,269
Testo statistika
t = (100 − 102,9)/3,269 = −0,8872
Atsakymas
t = −0,8872
Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 45,84
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·10/√64 = 2,056
Intervalo rėžis
L = 47,9 − 2,056 = 45,84
Atsakymas
L = 45,84
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9305
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 320/5 = 64
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Syy = Σ(y − ȳ)² = 444
Koreliacijos koeficientas
r = 62/√(10·444) = 0,9305
Atsakymas
r = 0,9305
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 54,65
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 284/5 = 56,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
Regresijos tiesė
b = 43/10 = 4,3
a = 56,8 − 4,3·3 = 43,9
ŷ = 43,9 + 4,3·x
Prognozė
ŷ = 43,9 + 4,3·2,5 = 54,65
Atsakymas
ŷ = 54,65
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.