Investuojate €2 000 esant 4% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 17 metų.
PV = €2 000r = 4%t = 17
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 13 metų įnešate €3 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 7% per metus. Kiek bus sąskaitoje 13-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €3 000i = 7%n = 13
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €20 000, €15 000, €27 000, €21 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €30 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €17 500, €11 000, €7 000. Projektas B kainuoja €40 000 ir grąžina po €11 000, €16 500, €21 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 10 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 8%YTM = 5%n = 10
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 3 metų. Ji parduodama už €1 043. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 4% (2×)n = 3P = €1 043
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €8 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 11%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €58,00 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 25,8%. Akcijos beta koeficientas – 0,8, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 90?
μ = 100σ = 10x = 90
P =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 3 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
3 / 8
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 10 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?
n = 10p = 0,4k = 5
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 245 ir 259,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 245x2 = 259,25
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).
Populiacijos standartinis nuokrypis – 7. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 7E = 195%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 100; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 12. Atsitiktinės 64 stebėjimų imties vidurkis 102,55. Tikrinkite H₀: μ = 100 prieš H₁: μ ≠ 100. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 100σ = 12n = 64x̄ = 102,55H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 matavimų imties vidurkis – 50,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 50,8σ = 15n = 1695%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 95Σx² = 55Σy² = 1943Σxy = 248
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 23.
n = 5x = 23
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 3948 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laipsnio rodiklis
r·t = 0,04·17 = 0,68
e0,68 = 1,974
Būsimoji vertė
FV = 2 000·1,974 = €3 947,76
Atsakymas
FV = €3 947,76
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 64651 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,07)13 − 1)/0,07 = 20,14
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 3 000·20,14·1,07 = €64 651,46
Atsakymas
FV = €64 651,46
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −3478 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 20 000/1,06 = 18 867,92
CF2/(1 + 0,06)2 = 15 000/1,124 = 13 349,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 27 000/1,191 = 22 669,72
CF4/(1 + 0,06)4 = 21 000/1,262 = 16 633,97
Sudėkite
NPV = €−3 478,44
Atsakymas
NPV = €−3 478,44
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 8,597 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 11 000 − 17 500 = −6 500
ΔCF2 = 16 500 − 11 000 = 5 500
ΔCF3 = 21 500 − 7 000 = 14 500
Skirtumo IRR
NPVΔ(8%) = 207,41
NPVΔ(9%) = −137,40
r* = 8,597%
Atsakymas
r* = 8,597%
Patikra: esant 8,597%, abi NPV lygios €907,63.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1234 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €40,00, i = 0,025, N = 20
Kuponų dabartinė vertė
€40,00·(1 − 0,6103)/0,025 = €623,57
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,6103 = €610,27
Kaina
P = €1 233,84
Atsakymas
P = €1 233,84
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 2,503 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, N = 6
Skaitinis sprendimas
i = 1,252% per pusmetį
YTM
YTM = 2·1,252% = 2,503%
Atsakymas
YTM = 2,503%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,748 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·11% + 0,2·6%·(1 − 0,21) = 9,748%
Atsakymas
WACC = 9,748%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,979 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,05455
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455
Atsakymas
P = 0,05455
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2007
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (245 − 250)/5 = −1
z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85
Plotas tarp
P = Φ(1,85) − Φ(−1) = 0,9678 − 0,1587 = 0,8092
Atsakymas
P = 0,8092
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 43,76 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Atgal į x
x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min
Atsakymas
x = 43,76 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 30,93
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Paklaidos riba
E = 1,699·17,5/√30 = 5,428
Intervalas
25,5 ± 5,428 → [20,07, 30,93]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 30,93
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 189
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·7/1)² = 188,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 189
Atsakymas
n = 189
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,08913
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (102,55 − 100)/1,5 = 1,7
Uodegos plotas
Φ(1,7) = 0,9554
1 − Φ(1,7) = 0,0446
p reikšmė
p = 2·0,0446 = 0,08913
Atsakymas
p = 0,08913
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 43,45
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·15/√16 = 7,35
Intervalo rėžis
L = 50,8 − 7,35 = 43,45
Atsakymas
L = 43,45
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,996
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 248 − 15·95/5 = −37
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1943 − 95²/5 = 138
Koreliacijos koeficientas
r = −37/√(10·138) = −0,996
Atsakymas
r = −0,996
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 129,5
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 617/5 = 123,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244
Regresijos tiesė
b = 244/40 = 6,1
a = 123,4 − 6,1·22 = −10,8
ŷ = −10,8 + 6,1·x
Prognozė
ŷ = −10,8 + 6,1·23 = 129,5
Atsakymas
ŷ = 129,5
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.