Investuojate €5 000 esant 6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 5 metų.
PV = €5 0006% / 12n = 5
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 4 metus. Palūkanų norma – 6 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €25 0006% / 12N = 48
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €4 000, €8 000, €10 000, €10 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €11 500, €7 000, €7 500, €6 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 8 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 9 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 9% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 8%YTM = 9%n = 9
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 10 metų ir parduodama už €865. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 10P = €865
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €4 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 25%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų, kurių kaina €47,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €38 000 000. Ji ką tik išmokėjo €0,80 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 5% per metus. Jos skolos rinkos vertė €47 500 000, o kaina prieš mokesčius 3%. Mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9488. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9488
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,05 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 16E = 190%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 75,86, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,86s = 5n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 10. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2, 46). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(2, 46)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 6744 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·4 = 48
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,7871
A = 25 000·0,005/(1 − 0,7871) = €587,13
Atsakymas
A = €587,13
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 5209 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 4 000/1,09 = 3 669,72
CF2/(1 + 0,09)2 = 8 000/1,188 = 6 733,44
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
CF4/(1 + 0,09)4 = 10 000/1,412 = 7 084,25
Sudėkite
NPV = €5 209,25
Atsakymas
NPV = €5 209,25
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 16,82 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
11 500·1,083 = 14 486,69
7 000·1,082 = 8 164,80
7 500·1,081 = 8 100,00
6 500·1,080 = 6 500,00
TV = 37 251,49
MIRR
MIRR = (37 251,49/20 000)1/4 − 1 = 16,82%
Atsakymas
MIRR = 16,82%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 939,2 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €40,00, i = 0,045, N = 18
Kuponų dabartinė vertė
€40,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €486,40
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,4528 = €452,80
Kaina
P = €939,20
Atsakymas
P = €939,20
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 8,013 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€865 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Skaitinis sprendimas
P(8%) = €865,80, P(9%) = €807,47
YTM = 8,013%
Atsakymas
YTM = 8,013%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,833 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·12% + 0,5556·6%·(1 − 0,25) = 7,833%
Atsakymas
WACC = 7,833%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,302 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5981
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Atsakymas
P = 0,5981
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 3,686
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,3, Var(X) = 1,51, σX = 1,229
Tiesinis pokytis
σY = |3|·1,229 = 3,686
Atsakymas
σY = 3,686
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·3,3 + 4 = 13,9.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,95
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9488)/2 = 0,9744
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9744 ir nuskaitykite z.
z = 1,95
Atsakymas
z = 1,95
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9875
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Tikimybė
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Atsakymas
P = 0,9875
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 53,22
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Paklaidos riba
E = 2,447·17/√7 = 15,72
Intervalas
37,5 ± 15,72 → [21,78, 53,22]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 53,22
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 693
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·16/1)² = 692,7
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 693
Atsakymas
n = 693
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,204
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 68
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 1,645)·10/4)² = 67,65
Apvalinkite aukštyn
n = 68
Atsakymas
n = 68
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9357
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 184/5 = 36,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Syy = Σ(y − ȳ)² = 410,8
Determinacijos koeficientas
r² = 124²/(40·410,8) = 0,9357
Atsakymas
r² = 0,9357
Apie 93,57% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −5,162
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 440/6 = 73,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 388
Regresijos tiesė
b = 388/70 = 5,543
a = 73,33 − 5,543·6 = 40,08
ŷ = 40,08 + 5,543·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 40,08 + 5,543·2 = 51,16
Liekana
e = 46 − 51,16 = −5,162
Atsakymas
e = −5,162
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.