Po 3 metų jums reikės €40 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €40 0006% / 12n = 3
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 14 metų įnešate €1 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 6% per metus. Kiek bus sąskaitoje 14-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €1 000i = 6%n = 14
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €22 000, €28 000, €27 000, €23 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €4 000, €5 000, €5 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 5 000CF3 = 5 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą ir išperkama po 9 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 5,5% iki 4%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 2%n = 9y1 = 5,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 10 metų. Ji parduodama už €762. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 4,5% (2×)n = 10P = €762
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €8 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 10%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €12 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 10%. Jos skolą sudaro 8 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%, iki išpirkimo 8 metų), kurių kiekviena parduodama už €968. Mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 76 z įvertį z.
μ = 100σ = 12x = 76
z =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 15 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 15k = 4
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,7, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?
n = 11p = 0,7k = 3
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 5 iš jų bendra masė viršija 60,9 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5> 60,9 kg
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 85 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 100 telefonų, vidurkis 63 h, žinomas standartinis nuokrypis 9 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 71 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 3,6 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 3,6 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 100 detalių imties vidutinis ilgis 143 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 6 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 139,2 mm, žinomas standartinis nuokrypis 7 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100 atliekamas, kai α = 0.10, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 12. Iš tikrųjų vidurkis lygus 97.8. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 100μ = 97,8σ = 12n = 36α = 0,10
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 49?
n = 6ŷ = 49
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 33426 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,197 = €33 425,80
Atsakymas
PV = €33 425,80
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 22276 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,06)14 − 1)/0,06 = 21,02
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 1 000·21,02·1,06 = €22 275,97
Atsakymas
FV = €22 275,97
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 5893 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 22 000/1,09 = 20 183,49
CF2/(1 + 0,09)2 = 28 000/1,188 = 23 567,04
CF3/(1 + 0,09)3 = 27 000/1,295 = 20 848,95
CF4/(1 + 0,09)4 = 23 000/1,412 = 16 293,78
Sudėkite
NPV = €5 893,26
Atsakymas
NPV = €5 893,26
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 19,93 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 875,32
NPV(20%) = −11,57
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 15 + 5·875,32/(875,32 − (−11,57)) = 19,93%
tiksliai: NPV(19,93%) = 0 → IRR = 19,93%
Atsakymas
IRR = 19,93%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = 94,62 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, N = 20
Skaitinis sprendimas
i = 4,001% per pusmetį
YTM
YTM = 2·4,001% = 8,003%
Atsakymas
YTM = 8,003%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,743 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·10% + 0,4286·3%·(1 − 0,2) = 6,743%
Atsakymas
WACC = 6,743%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,784 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (76 − 100)/12 = −2
Atsakymas
z = −2
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 1365
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365
Atsakymas
N = 1365
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,003713
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 60 kg, σT = 0,8·√5 = 1,789 kg
Standartizuokite
z = (60,9 − 60)/1,789 = 0,5
Tikimybė
P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085
Atsakymas
P = 0,3085
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 244,8 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,15
z iš lentelės
z ≈ −1,04
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Atsakymas
x = 244,8 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −14,96 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 63 − 71 = −8
Standartinė paklaida
SE = √(9²/100 + 18²/50) = 2,7
Paklaidos riba
E = 2,576·2,7 = 6,955
Intervalas
−8 ± 6,955 → [−14,96, −1,045]
Atsakymas
apatinis rėžis = −14,96 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,677 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·3,6² = 181,4
σ² rėžiai
181,4/26,119 = 6,947
181,4/5,629 = 32,23
σ rėžis
σ = √32,23 = 5,677 µm
Atsakymas
σ = 5,677 µm
σ 95 % intervalas: [2,636, 5,677] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 2,691
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 42,78 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 100 − 1,282·2 = 97,44
z esant tikrajam vidurkiui
z = (97,44 − 97,8)/2 = −0,182
Galia
galia = P(Z < −0.182) = 42.78%
1 − β = 42,78%
Atsakymas
1 − β = 42,78%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9772
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1605 − 25·283/5 = 190
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 16963 − 283²/5 = 945,2
Koreliacijos koeficientas
r = 190/√(40·945,2) = 0,9772
Atsakymas
r = 0,9772
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 21,2
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 289/6 = 48,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 299
Regresijos tiesė
b = 299/70 = 4,271
a = 48,17 − 4,271·21 = −41,53
ŷ = −41,53 + 4,271·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (49 − (−41,53))/4,271 = 21,2
Atsakymas
x = 21,2
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.