Anuitetas 11 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €500. Palūkanų norma 7% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €500i = 7%n = 11
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 8 metų įnešate €3 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 6% per metus. Kiek bus sąskaitoje 8-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €3 000i = 6%n = 8
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€45 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €12 000, €16 000, €10 000, €13 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €14 000, €18 000, €12 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 18 000CF3 = 12 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 10 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 6%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 10 metų. Ji parduodama už €1 084. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 4,5% (2×)n = 10P = €1 084
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €8 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 28%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €48,00 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 25%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 1,5%, rinkos grąža – 6%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 54,8?
μ = 50σ = 12x = 54,8
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,1, 0,1, 0,35
σ =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25Y = 5X − 3
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,5763. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,5763
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
21 elementų imties vidurkis – 76,5, standartinis nuokrypis s = 6,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 21x̄ = 76,5s = 6,590%t(20) = 1,725
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 40E = 190%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 119,1, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 119,1s = 8n = 64
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50 atliekamas, kai α = 0.10, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 18. Iš tikrųjų vidurkis lygus 46.7. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.
μ₀ = 50μ = 46,7σ = 18n = 36α = 0,10
β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (25, 116). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(25, 116)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 3749 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4751)/0,07 = 7,499
Dabartinė vertė
PV = 500·7,499 = €3 749,34
Atsakymas
PV = €3 749,34
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 31474 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,06)8 − 1)/0,06 = 9,897
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 3 000·9,897·1,06 = €31 473,95
Atsakymas
FV = €31 473,95
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −3593 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 12 000/1,09 = 11 009,17
CF2/(1 + 0,09)2 = 16 000/1,188 = 13 466,88
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
CF4/(1 + 0,09)4 = 13 000/1,412 = 9 209,53
Sudėkite
NPV = €−3 592,58
Atsakymas
NPV = €−3 592,58
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 35,38 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(35%) = 124,22
NPV(40%) = −1 443,15
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €30,00, i = 0,0175, N = 20
Kuponų dabartinė vertė
€30,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €502,59
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7068 = €706,82
Kaina
P = €1 209,41
Atsakymas
P = €1 209,41
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 3,497 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, N = 20
Skaitinis sprendimas
i = 1,749% per pusmetį
YTM
YTM = 2·1,749% = 3,497%
Atsakymas
YTM = 3,497%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,173 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,59
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,7, Var(X) = 0,91, σX = 0,9539
Tiesinis pokytis
σY = |5|·0,9539 = 4,77
Atsakymas
σY = 4,77
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·1,7 − 3 = 5,5.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,8
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,5763)/2 = 0,7881
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,7881 ir nuskaitykite z.
z = 0,80
Atsakymas
z = 0,80
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7881
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartizuokite
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 2,447
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Paklaidos riba
E = 1,725·6,5/√21 = 2,447
Atsakymas
E = 2,447
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 4330
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·40/1)² = 4330
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 4330
Atsakymas
n = 4330
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −0,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: β = 57,22 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 50 − 1,282·3 = 46,15
z esant tikrajam vidurkiui
z = (46,15 − 46,7)/3 = −0,182
II rūšies klaida
galia = P(Z < −0.182) = 42.78%
β = 100% − 42,78% = 57,22%
Atsakymas
β = 57,22%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9463
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 374/5 = 74,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Syy = Σ(y − ȳ)² = 362,8
Koreliacijos koeficientas
r = 57/√(10·362,8) = 0,9463
Atsakymas
r = 0,9463
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,052
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 607/6 = 101,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 313
Regresijos tiesė
b = 313/70 = 4,471
a = 101,2 − 4,471·21 = 7,267
ŷ = 7,267 + 4,471·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 7,267 + 4,471·25 = 119,1
Liekana
e = 116 − 119,1 = −3,052
Atsakymas
e = −3,052
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.