Anuitetas 19 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €1 000. Palūkanų norma 3% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.
A = €1 000i = 3%n = 19
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metus. Palūkanų norma – 4,8 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €25 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €250 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €18 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 2% per metus. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €250 000CF1 = €18 000g = 2%r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €10 500, €17 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 17 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 10 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 7% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 2%YTM = 7%n = 10
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 10 metų. Ji parduodama už €1 078. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 6% (2×)n = 10P = €1 078
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė finansuojama €10 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €2 000 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €2 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 9%, privilegijuotųjų akcijų kaina 7%, skolos kaina prieš mokesčius 3%. Mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €21,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 25%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 2%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9265. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9265
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 10 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.10%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 53 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 62,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 3,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 3,8 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 30 detalių imties vidutinis ilgis 116 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 18 mm. 2 linija: 50 detalių imties vidurkis 124,9 mm, žinomas standartinis nuokrypis 10 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 9. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 90%δ = 2σ = 9zα = 2,326zβ = 1,282
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 116?
n = 6ŷ = 116
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 14324 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5703)/0,03 = 14,32
Dabartinė vertė
PV = 1 000·14,32 = €14 323,80
Atsakymas
PV = €14 323,80
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 469,5 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,787
A = 25 000·0,004/(1 − 0,787) = €469,49
Atsakymas
A = €469,49
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −25000 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 18 000/(0,1 − 0,02) = 225 000,00
NPV
NPV = 225 000,00 − 250 000 = −€25 000,00
Atsakymas
NPV = −€25 000,00
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 7,261 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(5%) = 873,02
NPV(10%) = −991,74
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 5 + 5·873,02/(873,02 − (−991,74)) = 7,341%
tiksliai: NPV(7,261%) = 0 → IRR = 7,261%
Atsakymas
IRR = 7,261%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 644,7 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, i = 0,035, N = 20
Kuponų dabartinė vertė
€10,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €142,12
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5026 = €502,57
Kaina
P = €644,69
Atsakymas
P = €644,69
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 4,999 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €30,00, N = 20
Skaitinis sprendimas
i = 2,5% per pusmetį
YTM
YTM = 2·2,5% = 4,999%
Atsakymas
YTM = 4,999%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,737 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (95 − 100)/10 = −0,5
Atsakymas
z = −0,5
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,4213
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Atsakymas
P = 0,4213
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 2,791
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,05, Var(X) = 1,948, σX = 1,396
Tiesinis pokytis
σY = |2|·1,396 = 2,791
Atsakymas
σY = 2,791
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·2,05 + 10 = 14,1.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,79
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9265)/2 = 0,9633
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9633 ir nuskaitykite z.
z = 1,79
Atsakymas
z = 1,79
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 52,2 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,1
z iš lentelės
z ≈ −1,28
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 tšk.
Atsakymas
x = 52,2 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,563 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 53 − 62,5 = −9,5
Standartinė paklaida
SE = √(3²/30 + 16²/50) = 2,328
Paklaidos riba
E = 1,96·2,328 = 4,563
Atsakymas
E = 4,563 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,993 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·3,8² = 202,2
σ² rėžiai
202,2/26,119 = 7,74
202,2/5,629 = 35,91
σ rėžis
σ = √35,91 = 5,993 µm
Atsakymas
σ = 5,993 µm
σ 95 % intervalas: [2,782, 5,993] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,488
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 264
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,282)·9/2)² = 263,6
Apvalinkite aukštyn
n = 264
Atsakymas
n = 264
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9916
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 375/6 = 62,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 341
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1690
Koreliacijos koeficientas
r = 341/√(70·1690) = 0,9916
Atsakymas
r = 0,9916
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 26,44
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 609/6 = 101,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 775,5
Regresijos tiesė
b = 775,5/157,5 = 4,924
a = 101,5 − 4,924·23,5 = −14,21
ŷ = −14,21 + 4,924·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (116 − (−14,21))/4,924 = 26,44
Atsakymas
x = 26,44
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.