CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €5 000 esant 2% metinei normai su tolydžiuoju kapitalizavimu. Raskite vertę FV po 5 metų.

PV = €5 000r = 2%t = 5

FV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€150 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metų, esant 6% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 4-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.

P = €150 0006% / 12N = 300k = 48

B = €

3.NPV ir IRRVidutinis

Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 7 metų ji generuoja €7 000, o po to gali būti parduota už €10 000. Kapitalo kaina 6%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €50 000CF = €7 000S = €10 000n = 7r = 6%

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €10 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €5 000, €7 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000

IRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 10 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 2,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.

F = €1 000kuponas = 6%n = 10y₀ = 2,5%y₁ = 3,5%

HPR = %

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 5 metų. Ji parduodama už €1 044. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.

F = €1 000kuponas = 6% (2×)n = 5P = €1 044

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Akcijos, kurios beta 1,2, reikalaujama grąža 6,8%. Nerizikinga norma 2%. Kokią laukiamą rinkos grąžą r_m implikuoja CAPM?

β = 1,2r_e = 6,8%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €8 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 13%. Jos skolą sudaro 5 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 7%, iki išpirkimo 12 metų), kurių kiekviena parduodama už €961. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.

E = €8 000 000r_e = 13%obligacijos: 5 000 × €961kuponas = 7%n = 12T = 25,8%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 46, 22, 35, 57, 18, 30, 43.

n = 7

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 57,5?

μ = 60σ = 5x = 57,5

P =

11.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 12 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 12k = 3

N =

12.TikimybėSunkus

Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 7p = 0,4

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 199,3 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,3 mm

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 elementų imties vidurkis – 55, standartinis nuokrypis s = 3,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 7x̄ = 55s = 3,590%t(6) = 1,943

apatinis rėžis =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 56,5, standartinis nuokrypis 4,5. 2 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 53,5, standartinis nuokrypis 7. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 7x̄₁ = 56,5s₁ = 4,5n₂ = 10x̄₂ = 53,5s₂ = 7

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 22. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 80%δ = 4σ = 22z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 6,5.

n = 6x = 6,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 5526 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laipsnio rodiklis

r·t = 0,02·5 = 0,1

e^0,1 = 1,105

Būsimoji vertė

FV = 5 000·1,105 = €5 525,85

Atsakymas

FV = €5 525,85

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: B = 138290 €

Mėnesinė įmoka

i = 0,005, N = 300

A = 150 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁰⁰) = €966,45

Likusių įmokų dabartinė vertė

Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.

N − k = 300 − 48 = 252

B = 966,5·(1 − (1 + 0,005)⁻²⁵²)/0,005 = €138 290,41

Atsakymas

B = €138 290,41

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −4273 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Metinių pinigų srautų dabartinė vertė

7 000·5,582 = 39 076,67

Likvidacinės vertės dabartinė vertė

10 000/1,504 = 6 650,57

NPV

NPV = −50 000 + 39 076,67 + 6 650,57 = −€4 272,76

Atsakymas

NPV = −€4 272,76

4.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 12,32 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(10%) = 330,58

NPV(15%) = −359,17

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 10 + 5·330,58/(330,58 − (−359,17)) = 12,4%

tiksliai: NPV(12,32%) = 0 → IRR = 12,32%

Atsakymas

IRR = 12,32%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: HPR = −4,297 %

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Pirkimo kaina

C = €60,00, i = 0,025, N = 10

€60,00·(1 − 0,7812)/0,025 + €1 000·0,7812 = €525,12 + €781,20 = €1 306,32

Pardavimo kaina

C = €60,00, i = 0,035, N = 9

€60,00·(1 − 0,7337)/0,035 + €1 000·0,7337 = €456,46 + €733,73 = €1 190,19

Laikymo laikotarpio grąža

HPR = (60 + 1 190,19 − 1 306,32)/1 306,32 = −4,297%

Atsakymas

HPR = −4,297%

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 4,995 %

Vienam laikotarpiui

C = €30,00, N = 10

Skaitinis sprendimas

i = 2,497% per pusmetį

YTM

YTM = 2·2,497% = 4,995%

Atsakymas

YTM = 4,995%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_m = 6 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Rinkos rizikos premija

r_m − r_f = (6,8% − 2%)/1,2 = 4%

Rinkos grąža

r_m = 2% + 4% = 6%

Atsakymas

r_m = 6%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 10,21 %

Skolos kaina (YTM)

961 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 7,504%

Rinkos vertės

D = 5 000·€961 = €4 805 000

V = €12 805 000, E/V = 0,6248, D/V = 0,3752

WACC

WACC = 0,6248·13% + 0,3752·7,504%·(1 − 0,258) = 10,21%

Atsakymas

WACC = 10,21%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,83

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 251/7 = 35,86

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 10,14² + (−13,86)² + (−0,8571)² + 21,14² + (−17,86)² + (−5,857)² + 7,143² = 1147

Standartinis nuokrypis

s = √(1147/6) = 13,83

Atsakymas

s = 13,83

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3085

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085

11.Tikimybė

Atsakymas: N = 220

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Atsakymas

N = 220

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1586

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Sudėkite

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Atsakymas

P = 0,1586

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9192

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartizuokite

z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192

Atsakymas

P = 0,9192

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9452

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Atsakymas

P = 0,9452

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 52,43

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Paklaidos riba

E = 1,943·3,5/√7 = 2,57

Intervalas

55 ± 2,57 → [52,43, 57,57]

Atsakymas

apatinis rėžis = 52,43

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Apvalinkite aukštyn

n = 1844

Atsakymas

n = 1844

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,9941

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (6·4,5² + 9·7²)/15 = 37,5

s_p = 6,124

Standartinė paklaida

SE = 6,124·√(1/7 + 1/10) = 3,018

Testo statistika

t = (56,5 − 53,5)/3,018 = 0,9941

Atsakymas

t = 0,9941

Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 188

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 0,842)·22/4)² = 187,1

Apvalinkite aukštyn

n = 188

Atsakymas

n = 188

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9958

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 132/6 = 22

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 816

Koreliacijos koeficientas

r = 238/√(70·816) = 0,9958

Atsakymas

r = 0,9958

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 51,24

Vidurkiai

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 292/6 = 48,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

Regresijos tiesė

b = 45/17,5 = 2,571

a = 48,67 − 2,571·5,5 = 34,52

ŷ = 34,52 + 2,571·x

Prognozė

ŷ = 34,52 + 2,571·6,5 = 51,24

Atsakymas

ŷ = 51,24

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income