Investuojate €8 000 esant 2 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 8 metų.
PV = €8 0002% / 12n = 8
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 21 metų įnešate €3 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 7% per metus. Kiek bus sąskaitoje 21-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €3 000i = 7%n = 21
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€30 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €10 000, €14 000, €9 000, €12 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €12 500, €10 000, €11 000, €15 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 6 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 9 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 6%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 9y0 = 6%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €1 005, jos pajamingumas iki išpirkimo 3% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 7,2 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas padidėja 25 baziniais punktais.
P0 = €1 005y = 3%D = 7,2Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €8 000 000, o skola – €5 000 000. Jos WACC 9,43%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 25,8%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €6 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 10%. Jos skolą sudaro 8 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%, iki išpirkimo 5 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 021. Mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 176 z įvertį z.
μ = 170σ = 10x = 176
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,2, 0,25
σ =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,7. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 7p = 0,7
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 769,7 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 40 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.40%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,7. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 200 stebėjimų?
95%n₁ = 100E₁ = 4,7n₂ = 200
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 13. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 13E = 2,595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 119, standartinis nuokrypis 8. 2 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 136,6, standartinis nuokrypis 11. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 6x̄₁ = 119s₁ = 8n₂ = 10x̄₂ = 136,6s₂ = 11
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
64 matavimų imties vidurkis – 198,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 198,5σ = 12n = 6495%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 97Σx² = 55Σy² = 1923Σxy = 271
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 14). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 14)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 9387 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,07)21 − 1)/0,07 = 44,87
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 3 000·44,87·1,07 = €144 017,22
Atsakymas
FV = €144 017,22
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 8956 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 10 000/1,06 = 9 433,96
CF2/(1 + 0,06)2 = 14 000/1,124 = 12 459,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
CF4/(1 + 0,06)4 = 12 000/1,262 = 9 505,12
Sudėkite
NPV = €8 955,61
Atsakymas
NPV = €8 955,61
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 20,54 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
12 500·1,063 = 14 887,70
10 000·1,062 = 11 236,00
11 000·1,061 = 11 660,00
15 000·1,060 = 15 000,00
TV = 52 783,70
MIRR
MIRR = (52 783,70/25 000)1/4 − 1 = 20,54%
Atsakymas
MIRR = 20,54%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 9,665 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 7,2/1,03 = 6,99
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −6,99·(0,0025) = −1,748%
P ≈ 1005·(1 − 0,01748) = €987,44
Atsakymas
P = €987,44
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 13 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
WACC skolos dalis
0,3846·5%·(1 − 0,258) = 1,427%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (9,43% − 1,427%)/0,6154 = 13%
Atsakymas
re = 13%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,521 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (176 − 170)/10 = 0,6
Atsakymas
z = 0,6
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,117
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,25 = 1,45
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,25 = 3,35
Dispersija
Var(X) = 3,35 − 1,45² = 1,248
σ = √1,248 = 1,117
Atsakymas
σ = 1,117
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,003791
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,37 = 0,0002187
P(X = 1) = 7·0,7·0,36 = 0,003572
Sudėkite
P = 0,0002187 + 0,003572 = 0,003791
Atsakymas
P = 0,003791
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,02275
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standartizuokite
z = (769,7 − 750)/9,849 = 2
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 96,3 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,4
z iš lentelės
z ≈ −0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 − 0,25·15 = 96,3 tšk.
Atsakymas
x = 96,3 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 3,323
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/200) = 0,7071
Nauja paklaidos riba
E₂ = 4,7·0,7071 = 3,323
Atsakymas
E₂ = 3,323
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 104
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·13/2,5)² = 103,9
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 104
Atsakymas
n = 104
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,397
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (5·8² + 9·11²)/14 = 100,6
sp = 10,03
Standartinė paklaida
SE = 10,03·√(1/6 + 1/10) = 5,181
Testo statistika
t = (119 − 136,6)/5,181 = −3,397
Atsakymas
t = −3,397
Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 201,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·12/√64 = 2,94
Intervalo rėžis
U = 198,5 + 2,94 = 201,4
Atsakymas
U = 201,4
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9853
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 271 − 15·97/5 = −20
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1923 − 97²/5 = 41,2
Koreliacijos koeficientas
r = −20/√(10·41,2) = −0,9853
Atsakymas
r = −0,9853
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −5,476
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 86/6 = 14,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Regresijos tiesė
b = −45/17,5 = −2,571
a = 14,33 − (−2,571)·3,5 = 23,33
ŷ = 23,33 − 2,571·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 23,33 + (−2,571)·1,5 = 19,48
Liekana
e = 14 − 19,48 = −5,476
Atsakymas
e = −5,476
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.