Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 17,5% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.
r = 17,5%m = 4
EAR = %
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 22 metus atidedate €100. Sąskaita moka 5,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1005,4% / 12N = 264
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €5 000, €5 000, €7 000, €8 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €5 500, €5 000, €3 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 5 000CF3 = 3 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 8 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 179, kai pajamingumas iki išpirkimo 2,5%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 8P = €1 179YTM = 2,5%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 4%, išperkama po 10 metų ir parduodama už €1 085. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 10P = €1 085
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €4 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 30%. Raskite WACC.
Įmonė turi 5 000 000 akcijų, kurių kaina €12,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €37 500 000. Ji ką tik išmokėjo €1,70 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 2% per metus. Jos skolos rinkos vertė €18 800 000, o kaina prieš mokesčius 5%. Mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 38?
μ = 50σ = 15x = 38
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 6 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 6k = 4
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 6 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 6p = 0,4k = 4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 100,75 ir 103 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 100σ = 15x1 = 100,75x2 = 103
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 20 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.20%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 116 h, žinomas standartinis nuokrypis 8 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 118,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 11 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 32. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 32E = 190%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 125,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 4 mm. 2 linija: 100 detalių imties vidurkis 127,8 mm, žinomas standartinis nuokrypis 19 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 15E = 2,590%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 20.
n = 5x = 20
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: EAR = 18,68 %
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laikotarpio norma
r/m = 0,175/4 = 0,04375
Kapitalizuokite per vienus metus
EAR = (1 + 0,04375)4 − 1 = 1,187 − 1 = 18,68%
Atsakymas
EAR = 18,68%
Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 50484 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 5 000/1,08 = 4 629,63
CF2/(1 + 0,08)2 = 5 000/1,166 = 4 286,69
CF3/(1 + 0,08)3 = 7 000/1,26 = 5 556,83
CF4/(1 + 0,08)4 = 8 000/1,36 = 5 880,24
Sudėkite
NPV = €353,39
Atsakymas
NPV = €353,39
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 20,56 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 81,02
NPV(25%) = −608,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 20 + 5·81,02/(81,02 − (−608,00)) = 20,59%
tiksliai: NPV(20,56%) = 0 → IRR = 20,56%
Atsakymas
IRR = 20,56%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 4,996 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,025)−8 = €820,75
Kuponas
C = (1179 − 820,75)/7,17 = €49,96
Kupono norma
c = 49,96/1000 = 4,996%
Atsakymas
c = 4,996%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 3,003 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·12% + 0,5556·7%·(1 − 0,3) = 8,056%
Atsakymas
WACC = 8,056%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 13,01 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,8
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 15
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Atsakymas
N = 15
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1382
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 4) = 15·0,44·0,62 = 15·0,0256·0,36 = 0,1382
Atsakymas
P = 0,1382
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,05932
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2
Plotas tarp
P = Φ(0,2) − Φ(0,05) = 0,5793 − 0,5199 = 0,05932
Atsakymas
P = 0,05932
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 112,6 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,8
z iš lentelės
z ≈ 0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 tšk.
Atsakymas
x = 112,6 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 2,538 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 116 − 118,5 = −2,5
Standartinė paklaida
SE = √(8²/80 + 11²/40) = 1,956
Paklaidos riba
E = 2,576·1,956 = 5,038
Intervalas
−2,5 ± 5,038 → [−7,538, 2,538]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 2,538 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 2771
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·32/1)² = 2771
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 2771
Atsakymas
n = 2771
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −1,178
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 98
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·15/2,5)² = 97,42
Apvalinkite aukštyn
n = 98
Atsakymas
n = 98
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9291
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 271/5 = 54,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1279
Determinacijos koeficientas
r² = 327²/(90·1279) = 0,9291
Atsakymas
r² = 0,9291
Apie 92,91% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 75,35
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 356/5 = 71,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166
Regresijos tiesė
b = 166/40 = 4,15
a = 71,2 − 4,15·19 = −7,65
ŷ = −7,65 + 4,15·x
Prognozė
ŷ = −7,65 + 4,15·20 = 75,35
Atsakymas
ŷ = 75,35
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.