Po 5 metų jums reikės €20 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €20 0006% / 12n = 5
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Pasiskolinate €20 000 esant 5,4 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €400. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.
P = €20 000A = €4005,4% / 12
N = įmokos
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €60 000, tarnauja 9 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €5 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 12%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 9r = 12%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €16 000, €18 000, €14 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 16 000CF2 = 18 000CF3 = 14 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 11 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 5%YTM = 5,5%n = 11
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 3 metų. Ji parduodama už €1 099. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 7% (2×)n = 3P = €1 099
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
E = €3 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 2 000 000 akcijų, kurių kaina €29,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €17 700 000. Ji ką tik išmokėjo €2,40 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 5% per metus. Jos skolos rinkos vertė €59 000 000, o kaina prieš mokesčius 5%. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,8133. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8133
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 1,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.
n = 21s = 1,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 30 detalių imties vidutinis ilgis 144 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 15 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 141,6 mm, žinomas standartinis nuokrypis 16 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50 atliekamas, kai α = 0,01, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 9. Iš tikrųjų vidurkis lygus 52,25. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 50μ = 52,25σ = 9n = 36α = 0,01
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 14827 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·5 = 60
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,349 = €14 827,44
Atsakymas
PV = €14 827,44
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: N = 57 įmokos
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pertvarkykite anuiteto formulę
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,0045/400 = 0,775
Spręskite logaritmais
N = −ln(0,775)/ln(1,004) = 56,77
Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų
Po 56 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.
N = 57
Atsakymas
N = 57 įmokos
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 16261 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,12−9)/0,12 = 5,328
Metinė pirkimo kainos dalis
60 000/5,328 = 11 260,73
EAC
EAC = 11 260,73 + 5 000 = €16 260,73
Atsakymas
EAC = €16 260,73
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 9,913 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(5%) = 3 658,35
NPV(10%) = −60,11
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €25,00, i = 0,0275, N = 22
Kuponų dabartinė vertė
€25,00·(1 − 0,5506)/0,0275 = €408,59
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5506 = €550,55
Kaina
P = €959,14
Atsakymas
P = €959,14
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 3,495 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €35,00, N = 6
Skaitinis sprendimas
i = 1,748% per pusmetį
YTM
YTM = 2·1,748% = 3,495%
Atsakymas
YTM = 3,495%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 4,247 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·8% + 0,6667·3%·(1 − 0,21) = 4,247%
Atsakymas
WACC = 4,247%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,771 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Nuosavo kapitalo kaina
D1 = 2,4·1,05 = €2,52
re = 2,52/29,5 + 0,05 = 13,54%
Rinkos vertės
E = 2 000 000·€29,50 = €59 000 000
V = €118 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13,54% + 0,5·5%·(1 − 0,2) = 8,771%
Atsakymas
WACC = 8,771%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (178 − 170)/8 = 1
Atsakymas
z = 1
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,3077
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077
Atsakymas
P = 0,3077
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 20,27
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 26,5, Var(X) = 102,8, σX = 10,14
Tiesinis pokytis
σY = |−2|·10,14 = 20,27
Atsakymas
σY = 20,27
Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·26,5 + 5 = −48.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −0,89
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,8133 = 0,1867
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,1867 ir nuskaitykite z.
z = −0,89
Atsakymas
z = −0,89
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9099
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Atsakymas
P = 0,9099
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 3,495
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Paklaidos riba
E = 3,499·19/√8 = 23,5
Intervalas
27 ± 23,5 → [3,495, 50,5]
Atsakymas
apatinis rėžis = 3,495
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 1,454 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 20·1,9² = 72,2
σ² rėžiai
72,2/34,17 = 2,113
72,2/9,591 = 7,528
σ rėžis
σ = √2,113 = 1,454 µm
Atsakymas
σ = 1,454 µm
σ 95 % intervalas: [1,454, 2,744] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 0,5994
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 20,44 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 50 + 2,326·1,5 = 53,49
z esant tikrajam vidurkiui
z = (53,49 − 52,25)/1,5 = 0,826
Galia
galia = P(Z > 0,826) = 20,44%
1 − β = 20,44%
Atsakymas
1 − β = 20,44%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,8654
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 290/5 = 58
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Syy = Σ(y − ȳ)² = 234
Determinacijos koeficientas
r² = 90²/(40·234) = 0,8654
Atsakymas
r² = 0,8654
Apie 86,54% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 20,65
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 83/5 = 16,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Regresijos tiesė
b = −27/10 = −2,7
a = 16,6 − (−2,7)·3 = 24,7
ŷ = 24,7 − 2,7·x
Prognozė
ŷ = 24,7 + (−2,7)·1,5 = 20,65
Atsakymas
ŷ = 20,65
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.