Po 6 metų jums reikės €10 000. Sąskaita moka 4 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €10 0004% / 4n = 6
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 23 metus atidedate €50. Sąskaita moka 6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €506% / 12N = 276
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €50 000 ir kiekvienų metų pabaigoje 4 metų grąžina €15 500. Kapitalo kaina 5 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
€20 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 3 metų grąžina €8 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €20 000CF = €8 500n = 3
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 11 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 3%n = 11
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €1 010, jos pajamingumas iki išpirkimo 5% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 4 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas padidėja 25 baziniais punktais.
P0 = €1 010y = 5%D = 4Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 14%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 28%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €17,00 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 000. Skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,5, nerizikinga palūkanų norma – 1,5%, rinkos grąža – 6%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 63?
μ = 60σ = 5x = 63
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 2 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 2
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 5 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,6, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?
n = 5p = 0,6k = 3
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7017. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,7017
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 15 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 10E = 195%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 80 detalių imties vidutinis ilgis 77,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 4 mm. 2 linija: 40 detalių imties vidurkis 75,3 mm, žinomas standartinis nuokrypis 15 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 202,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 202,1σ = 12n = 4999%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 7876 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·6 = 24
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,27 = €7 875,66
Atsakymas
PV = €7 875,66
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 29613 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 15 500/1,05 = 14 761,90 → Σ = 14 761,90
metai 2: 15 500/1,103 = 14 058,96 → Σ = 28 820,86
metai 3: 15 500/1,158 = 13 389,48 → Σ = 42 210,34
metai 4: 15 500/1,216 = 12 751,89 → Σ = 54 962,23
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 3 + 7 789,66/12 751,89 = 3,611
Atsakymas
DPB = 3,611 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,226 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 13,21 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−3)/i = 20 000/8 500 = 2,353
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 13%: 2,361
i = 14%: 2,322
IRR = 13,21%
Atsakymas
IRR = 13,21%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1093 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,015, N = 22
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,7207)/0,015 = €372,42
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7207 = €720,69
Kaina
P = €1 093,10
Atsakymas
P = €1 093,10
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1000 €
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 4/1,05 = 3,81
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −3,81·(0,0025) = −0,9524%
P ≈ 1010·(1 − 0,009524) = €1 000,38
Atsakymas
P = €1 000,38
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 12,46 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 1 000 000·€17,00 = €17 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1,5% + 1,5·4,5% = 8,25%
Svoriai
V = €27 000 000, E/V = 0,6296, D/V = 0,3704
WACC
WACC = 0,6296·8,25% + 0,3704·4%·(1 − 0,2) = 6,38%
Atsakymas
WACC = 6,38%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,6
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,6
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Atsakymas
P = 0,2743
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,3056
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Atsakymas
P = 0,3056
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,3456
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 3) = 10·0,63·0,42 = 10·0,216·0,16 = 0,3456
Atsakymas
P = 0,3456
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,04
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,7017)/2 = 0,8508
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,8508 ir nuskaitykite z.
z = 1,04
Atsakymas
z = 1,04
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 255,2 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,85
z iš lentelės
z ≈ 1,04
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Atsakymas
x = 255,2 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 45,71
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Paklaidos riba
E = 4,032·2/√6 = 3,292
Intervalas
49 ± 3,292 → [45,71, 52,29]
Atsakymas
apatinis rėžis = 45,71
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 385
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·10/1)² = 384,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 385
Atsakymas
n = 385
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 0,9115
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 197,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·12/√49 = 4,416
Intervalo rėžis
L = 202,1 − 4,416 = 197,7
Atsakymas
L = 197,7
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9846
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 340/6 = 56,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85
Syy = Σ(y − ȳ)² = 419,3
Determinacijos koeficientas
r² = 85²/(17,5·419,3) = 0,9846
Atsakymas
r² = 0,9846
Apie 98,46% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 37,4
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 208/5 = 41,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28
Regresijos tiesė
b = 28/10 = 2,8
a = 41,6 − 2,8·5 = 27,6
ŷ = 27,6 + 2,8·x
Prognozė
ŷ = 27,6 + 2,8·3,5 = 37,4
Atsakymas
ŷ = 37,4
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.