Investuojate €3 000 esant 3 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 2 metų.
PV = €3 0003% / 12n = 2
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€200 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metus. Palūkanų norma – 6 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €200 0006% / 12N = 240
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €50 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €20 000, €18 500, €20 000, €10 000. Kapitalo kaina 6 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €37 000, €33 000, €35 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 37 000CF2 = 33 000CF3 = 35 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą ir išperkama po 7 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 6% iki 7,5%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 7%n = 7y1 = 6%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 7%, išperkama po 5 metų ir parduodama už €1 085. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 5P = €1 085
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 14%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 25%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €10 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 13%. Jos skolą sudaro 2 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%, iki išpirkimo 4 metų), kurių kiekviena parduodama už €965. Mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 92 z įvertį z.
μ = 100σ = 10x = 92
z =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 4 raudoni ir 5 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
4 / 5
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €3. Laimite €15 su tikimybe 0,15 ir €30 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €3€15: p = 0,15€30: p = 0,05
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,3557. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,3557
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h30%
x = h
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 9,9, o standartinis nuokrypis 5,1. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 12d̄ = 9,9sd = 5,199%t(11) = 3,106
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?
σ = 16E = 595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 93, standartinis nuokrypis 3. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 105, standartinis nuokrypis 8,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 7x̄₁ = 93s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 105s₂ = 8,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 75,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 75,9σ = 4n = 2595%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 22). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 22)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 3185 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 200 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 432,86
Atsakymas
A = €1 432,86
3.NPV ir IRR
Atsakymas: DPB = 2,873 metai
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 20 000/1,06 = 18 867,92 → Σ = 18 867,92
metai 2: 18 500/1,124 = 16 464,93 → Σ = 35 332,86
metai 3: 20 000/1,191 = 16 792,39 → Σ = 52 125,24
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 2 + 14 667,14/16 792,39 = 2,873
Atsakymas
DPB = 2,873 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (2,575 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 49,74 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(45%) = 2 857,44
NPV(50%) = −148,15
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €1 086,59, P(6%) = €1 042,12
YTM = 5,035%
Atsakymas
YTM = 5,035%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,33 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·14% + 0,3333·4%·(1 − 0,25) = 10,33%
Atsakymas
WACC = 10,33%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 11,6 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (92 − 100)/10 = −0,8
Atsakymas
z = −0,8
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1667
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667
Atsakymas
P = 0,1667
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,75 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 12 (p = 0,15), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,8)
Laukiamoji vertė
E(G) = 12·0,15 + 27·0,05 − 3·0,8 = 0,75 €
Atsakymas
E(G) = 0,75 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,37
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,3557 = 0,6443
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,6443 ir nuskaitykite z.
z = 0,37
Atsakymas
z = 0,37
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 521 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 0,52·40 = 521 h
Atsakymas
x = 521 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,573 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 11, t = 3,106
Paklaidos riba
E = 3,106·5,1/√12 = 4,573
Atsakymas
E = 4,573 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 40
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·16/5)² = 39,34
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 40
Atsakymas
n = 40
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,499
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (6·3² + 4·8,5²)/10 = 34,3
sp = 5,857
Standartinė paklaida
SE = 5,857·√(1/7 + 1/5) = 3,429
Testo statistika
t = (93 − 105)/3,429 = −3,499
Atsakymas
t = −3,499
Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 77,47
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·4/√25 = 1,568
Intervalo rėžis
U = 75,9 + 1,568 = 77,47
Atsakymas
U = 77,47
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9761
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 337/6 = 56,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 247
Syy = Σ(y − ȳ)² = 914,8
Koreliacijos koeficientas
r = 247/√(70·914,8) = 0,9761
Atsakymas
r = 0,9761
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 1,6
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Regresijos tiesė
b = −24/10 = −2,4
a = 21,6 − (−2,4)·3 = 28,8
ŷ = 28,8 − 2,4·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 28,8 + (−2,4)·3,5 = 20,4
Liekana
e = 22 − 20,4 = 1,6
Atsakymas
e = 1,6
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.