Investuojate €1 000 esant 4 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 5 metų.
PV = €1 0004% / 12n = 5
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 29 metus atidedate €150. Sąskaita moka 7,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1507,2% / 12N = 348
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €22 000, €15 000, €30 000, €23 000. Kapitalo kaina – 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €18 000, €9 000, €11 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 9 000CF3 = 11 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 3% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 3 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 9% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 3%YTM = 9%n = 3
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 12 metų. Ji parduodama už €848. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 6% (2×)n = 12P = €848
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,5. Jos nuosavo kapitalo kaina 11%, skolos kaina prieš mokesčius 7%, o mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC.
D/E = 0,5re = 11%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,2, įmonės akcijų beta 1. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 0,6. Mokesčio tarifas 30%, nerizikinga norma 3%, o rinkos rizikos premija 6%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0571. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0571
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 elementų imties vidurkis – 17,5, standartinis nuokrypis s = 13. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 504,5, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500 atliekamas, kai α = 0,05, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 20. Iš tikrųjų vidurkis lygus 508,5. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 500μ = 508,5σ = 20n = 64α = 0,05
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2,5, 29). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 29)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 1221 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 22 000/1,12 = 19 642,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 15 000/1,254 = 11 957,91
CF3/(1 + 0,12)3 = 30 000/1,405 = 21 353,41
CF4/(1 + 0,12)4 = 23 000/1,574 = 14 616,92
Sudėkite
NPV = €7 571,09
Atsakymas
NPV = €7 571,09
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 27,38 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 792,00
NPV(30%) = −821,57
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 25 + 5·792,00/(792,00 − (−821,57)) = 27,45%
tiksliai: NPV(27,38%) = 0 → IRR = 27,38%
Atsakymas
IRR = 27,38%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 845,3 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €15,00, i = 0,045, N = 6
Kuponų dabartinė vertė
€15,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €77,37
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7679 = €767,90
Kaina
P = €845,26
Atsakymas
P = €845,26
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 7,993 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €30,00, N = 24
Skaitinis sprendimas
i = 3,997% per pusmetį
YTM
YTM = 2·3,997% = 7,993%
Atsakymas
YTM = 7,993%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,967 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·11% + 0,3333·7%·(1 − 0,3) = 8,967%
Atsakymas
WACC = 8,967%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 10,47 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1/(1 + 0,7·0,2) = 0,8772
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 0,8772·(1 + 0,7·0,6) = 1,246
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 3% + 1,246·6% = 10,47%
Atsakymas
re = 10,47%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,5
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (380 − 500)/60 = −2
Atsakymas
z = −2
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,158
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,6
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,9
Dispersija
Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34
σ = √1,34 = 1,158
Atsakymas
σ = 1,158
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 4,578
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,4, Var(X) = 5,24, σX = 2,289
Tiesinis pokytis
σY = |2|·2,289 = 4,578
Atsakymas
σY = 4,578
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·3,4 + 20 = 26,8.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,58
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0571 = 0,9429
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9429 ir nuskaitykite z.
z = 1,58
Atsakymas
z = 1,58
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8554
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
Atsakymas
P = 0,8554
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 6,74
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Paklaidos riba
E = 1,796·13/√12 = 6,74
Atsakymas
E = 6,74
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 1,377 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (10·9² + 9·8,5²)/19 = 76,86
sp = 8,767
Paklaidos riba
E = 1,729·8,767·√(1/11 + 1/10) = 6,623
Intervalas
8 ± 6,623 → [1,377, 14,62]
Atsakymas
apatinis rėžis = 1,377 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 96,04 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 500 + 1,645·2,5 = 504,1
z esant tikrajam vidurkiui
z = (504,1 − 508,5)/2,5 = −1,755
Galia
galia = P(Z > −1,755) = 96,04%
1 − β = 96,04%
Atsakymas
1 − β = 96,04%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,5799
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 209/5 = 41,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 15
Syy = Σ(y − ȳ)² = 38,8
Determinacijos koeficientas
r² = 15²/(10·38,8) = 0,5799
Atsakymas
r² = 0,5799
Apie 57,99% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 5,395
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 125/6 = 20,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48,5
Regresijos tiesė
b = −48,5/17,5 = −2,771
a = 20,83 − (−2,771)·3,5 = 30,53
ŷ = 30,53 − 2,771·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 30,53 + (−2,771)·2,5 = 23,6
Liekana
e = 29 − 23,6 = 5,395
Atsakymas
e = 5,395
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.