Po 4 metų jums reikės €15 000. Sąskaita moka 2 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €15 0002% / 12n = 4
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 11 metų įnešate €6 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 3% per metus. Kiek bus sąskaitoje 11-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €6 000i = 3%n = 11
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 6 metų ji generuoja €8 500, o po to gali būti parduota už €5 000. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €50 000CF = €8 500S = €5 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas šiandien kainuoja €50 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €14 000 ir auga 4 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 4-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €50 000CF1 = €14 000g = 4%n = 4r = 10%
NPV = €
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 5 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 8%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 4%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 5y0 = 4%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 3% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 5 metų. Ji parduodama už €912. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 3% (2×)n = 5P = €912
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė finansuojama €12 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €1 500 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €3 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 13%, privilegijuotųjų akcijų kaina 7%, skolos kaina prieš mokesčius 3%. Mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €38,00 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 0,9, nerizikinga palūkanų norma – 4%, rinkos grąža – 11%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 92,5 z įvertį z.
μ = 100σ = 5x = 92,5
z =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 4 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
4 / 8
P =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 8 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 8p = 0,4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 53 ir 73 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 65σ = 10x1 = 53x2 = 73
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 129 h, žinomas standartinis nuokrypis 5 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 135,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 22. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 22E = 390%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 26,5, standartinis nuokrypis 8,5. 2 grupė: 23 studentų, vidutinis rezultatas 21,4, standartinis nuokrypis 3,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 8x̄₁ = 26,5s₁ = 8,5n₂ = 23x̄₂ = 21,4s₂ = 3,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 26. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 64?
n = 6ŷ = 64
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 13848 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·4 = 48
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,083 = €13 847,67
Atsakymas
PV = €13 847,67
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 79152 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,03)11 − 1)/0,03 = 12,81
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 6 000·12,81·1,03 = €79 152,18
Atsakymas
FV = €79 152,18
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −10158 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Augančio anuiteto dabartinė vertė
((1,04)/(1,1))4 = 0,799
PV = 14 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,799) = 46 893,20
NPV
NPV = 46 893,20 − 50 000 = −€3 106,80
Atsakymas
NPV = −€3 106,80
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 5,706 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €15,00, N = 10
Skaitinis sprendimas
i = 2,506% per pusmetį
YTM
YTM = 2·2,506% = 5,012%
Atsakymas
YTM = 5,012%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,52 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (92,5 − 100)/5 = −1,5
Atsakymas
z = −1,5
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,09091
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091
Atsakymas
P = 0,09091
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1064
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958
Sudėkite
P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064
Atsakymas
P = 0,1064
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6731
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2
z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8
Plotas tarp
P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731
Atsakymas
P = 0,6731
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 22,13 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Atsakymas
x = 22,13 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = −1,383 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 129 − 135,5 = −6,5
Standartinė paklaida
SE = √(5²/60 + 16²/40) = 2,611
Paklaidos riba
E = 1,96·2,611 = 5,117
Intervalas
−6,5 ± 5,117 → [−11,62, −1,383]
Atsakymas
viršutinis rėžis = −1,383 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 146
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·22/3)² = 145,5
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 146
Atsakymas
n = 146
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,403
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (7·8,5² + 22·3,5²)/29 = 26,73
sp = 5,17
Standartinė paklaida
SE = 5,17·√(1/8 + 1/23) = 2,122
Testo statistika
t = (26,5 − 21,4)/2,122 = 2,403
Atsakymas
t = 2,403
Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 293
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 1,645)·26/5)² = 292,7
Apvalinkite aukštyn
n = 293
Atsakymas
n = 293
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9029
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 5302 − 90·287/5 = 136
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 17041 − 287²/5 = 567,2
Koreliacijos koeficientas
r = 136/√(40·567,2) = 0,9029
Atsakymas
r = 0,9029
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 19
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.