Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €12 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 2,5% per metus. Reikalaujama grąža 6,5% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €12 000g = 2,5%r = 6,5%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 9 metų įnešate €6 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 5% per metus. Kiek bus sąskaitoje 9-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €6 000i = 5%n = 9
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €34 000, €30 000, €19 000, €25 000. Kapitalo kaina – 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €23 000, €16 000, €9 500. Projektas B kainuoja €42 000 ir grąžina po €12 500, €17 000, €23 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 3 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 2,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 3y0 = 2,5%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 4 metų ir parduodama už €970. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 4P = €970
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 14%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €10 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 13%. Jos skolą sudaro 4 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%, iki išpirkimo 9 metų), kurių kiekviena parduodama už €932. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 8 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 697 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 697 kg
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 8,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.
n = 25s = 8,8 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 196, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 196s = 20n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 10E = 0,595%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 300000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,05)9 − 1)/0,05 = 11,03
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 6 000·11,03·1,05 = €69 467,36
Atsakymas
FV = €69 467,36
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 8685 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 34 000/1,12 = 30 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 30 000/1,254 = 23 915,82
CF3/(1 + 0,12)3 = 19 000/1,405 = 13 523,82
CF4/(1 + 0,12)4 = 25 000/1,574 = 15 887,95
Sudėkite
NPV = €8 684,74
Atsakymas
NPV = €8 684,74
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 9,086 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 17 000 − 16 000 = 1 000
ΔCF3 = 23 500 − 9 500 = 14 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(9%) = 19,22
NPVΔ(10%) = −200,60
r* = 9,086%
Atsakymas
r* = 9,086%
Patikra: esant 9,086%, abi NPV lygios €1 848,51.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 0,5869 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€970 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Skaitinis sprendimas
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €967,60
YTM = 8,924%
Atsakymas
YTM = 8,924%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,53 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Skolos kaina (YTM)
932 = 50·(1 − (1 + y)−9)/y + 1000/(1 + y)9
y = 6%
Rinkos vertės
D = 4 000·€932 = €3 728 000
V = €13 728 000, E/V = 0,7284, D/V = 0,2716
WACC
WACC = 0,7284·13% + 0,2716·6%·(1 − 0,2) = 10,77%
Atsakymas
WACC = 10,77%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 21,71
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,6
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Atsakymas
P = 0,7257
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,145
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,2 = 2,3
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,2 = 6,6
Dispersija
Var(X) = 6,6 − 2,3² = 1,31
σ = √1,31 = 1,145
Atsakymas
σ = 1,145
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 3,865
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,8, Var(X) = 1,66, σX = 1,288
Tiesinis pokytis
σY = |3|·1,288 = 3,865
Atsakymas
σY = 3,865
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·2,8 + 1 = 9,4.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6915
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33,94 kg
Standartizuokite
z = (697 − 680)/33,94 = 0,5
Tikimybė
P = Φ(0,5) = 0,6915
Atsakymas
P = 0,6915
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 166,5 cm
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm
Atsakymas
x = 166,49 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 7,739
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Paklaidos riba
E = 2,145·9,5/√15 = 5,261
Intervalas
13 ± 5,261 → [7,739, 18,26]
Atsakymas
apatinis rėžis = 7,739
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 12,24 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 24·8,8² = 1859
σ² rėžiai
1859/39,364 = 47,21
1859/12,401 = 149,9
σ rėžis
σ = √149,9 = 12,24 µm
Atsakymas
σ = 12,24 µm
σ 95 % intervalas: [6,871, 12,24] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1537
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,96·10/0,5)² = 1537
Apvalinkite aukštyn
n = 1537
Atsakymas
n = 1537
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9796
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1941 − 35·255/5 = 156
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 13639 − 255²/5 = 634
Koreliacijos koeficientas
r = 156/√(40·634) = 0,9796
Atsakymas
r = 0,9796
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 52,65
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 312/5 = 62,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
Regresijos tiesė
b = 65/10 = 6,5
a = 62,4 − 6,5·4 = 36,4
ŷ = 36,4 + 6,5·x
Prognozė
ŷ = 36,4 + 6,5·2,5 = 52,65
Atsakymas
ŷ = 52,65
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.