Investuojate €5 000 esant 5 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 8 metų.
PV = €5 0005% / 12n = 8
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€20 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metų, esant 2,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?
P = €20 0002,4% / 12N = 36
I = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €50 000 ir 1–5 metų pabaigoje grąžina po €13 000, €15 000, €13 000, €20 000, €22 500. Kapitalo kaina 6 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €18 000, €18 500, €21 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 18 000CF2 = 18 500CF3 = 21 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą ir išperkama po 15 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 9% iki 11%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 5%n = 15y1 = 9%y2 = 11%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 7%, išperkama po 5 metų ir parduodama už €905. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 5P = €905
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,6. Jos nuosavo kapitalo kaina 14%, skolos kaina prieš mokesčius 3,5%, o mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC.
D/E = 0,6re = 14%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €12,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 000. Skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,2, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 245 ir 255,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 245x2 = 255,25
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,3. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 576 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
90%n₁ = 64E₁ = 4,395%n₂ = 576
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 23. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 23E = 395%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 15 studentų, vidutinis rezultatas 55, standartinis nuokrypis 5. 2 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 58,6, standartinis nuokrypis 3,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 15x̄₁ = 55s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 58,6s₂ = 3,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 5E = 390%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (4,5, 74). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 74)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 7453 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,002, N = 36
A = 20 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−36) = €576,35
Iš viso palūkanų
I = N·A − P = 36·576,4 − 20 000 = €748,62
Atsakymas
I = €748,62
3.NPV ir IRR
Atsakymas: DPB = 3,85 metai
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 13 000/1,06 = 12 264,15 → Σ = 12 264,15
metai 2: 15 000/1,124 = 13 349,95 → Σ = 25 614,10
metai 3: 13 000/1,191 = 10 915,05 → Σ = 36 529,15
metai 4: 20 000/1,262 = 15 841,87 → Σ = 52 371,02
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 3 + 13 470,85/15 841,87 = 3,85
Atsakymas
DPB = 3,85 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,45 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 20 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 0,00
NPV(25%) = −3 008,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 20 + 5·0,00/(0,00 − (−3 008,00)) = 20%
tiksliai: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%
Atsakymas
IRR = 20%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = −109 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€905 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Skaitinis sprendimas
P(9%) = €922,21, P(10%) = €886,28
YTM = 9,472%
Atsakymas
YTM = 9,472%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,695 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·14% + 0,375·3,5%·(1 − 0,28) = 9,695%
Atsakymas
WACC = 9,695%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,886 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (45,6 − 60)/12 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,6475
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Dispersija
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Atsakymas
Var(X) = 0,6475
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 6,379
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,15, Var(X) = 1,628, σX = 1,276
Tiesinis pokytis
σY = |5|·1,276 = 6,379
Atsakymas
σY = 6,379
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·2,15 + 10 = 20,75.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6945
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (245 − 250)/5 = −1
z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05
Plotas tarp
P = Φ(1,05) − Φ(−1) = 0,8531 − 0,1587 = 0,6945
Atsakymas
P = 0,6945
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 39,69 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Atgal į x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Atsakymas
x = 39,69 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 1,708
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/576) = 0,3972
Nauja paklaidos riba
E₂ = 4,3·0,3972 = 1,708
Atsakymas
E₂ = 1,708
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 226
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·23/3)² = 225,8
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 226
Atsakymas
n = 226
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,602
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (14·5² + 5·3,5²)/19 = 21,64
sp = 4,652
Standartinė paklaida
SE = 4,652·√(1/15 + 1/6) = 2,247
Testo statistika
t = (55 − 58,6)/2,247 = −1,602
Atsakymas
t = −1,602
Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·5/3)² = 7,517
Apvalinkite aukštyn
n = 8
Atsakymas
n = 8
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9962
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 115/5 = 23
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Syy = Σ(y − ȳ)² = 582
Koreliacijos koeficientas
r = 152/√(40·582) = 0,9962
Atsakymas
r = 0,9962
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,667
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 428/6 = 71,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Regresijos tiesė
b = 114/17,5 = 6,514
a = 71,33 − 6,514·4,5 = 42,02
ŷ = 42,02 + 6,514·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 42,02 + 6,514·4,5 = 71,33
Liekana
e = 74 − 71,33 = 2,667
Atsakymas
e = 2,667
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.