Investuojate €3 000 esant 6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 6 metų.
PV = €3 0006% / 4n = 6
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 5 metus atidedate €200. Sąskaita moka 3,6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2003,6% / 12N = 60
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €100 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €8 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 2% per metus. Kapitalo kaina 9%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas A kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €11 500, €8 000, €4 500. Projektas B kainuoja €30 000 ir grąžina po €7 500, €12 500, €16 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą ir išperkama po 13 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 3% iki 5%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 5%n = 13y1 = 3%y2 = 5%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €1 065. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 8P = €1 065
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €6 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 9%, skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,8. Ji planuoja 0,4 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 25,8%, nerizikinga norma 1%, o rinkos rizikos premija 4,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Raskite rezultato 410 z įvertį z.
μ = 500σ = 60x = 410
z =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 6 raudoni ir 8 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
6 / 8
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €3. Laimite €9 su tikimybe 0,1 ir €150 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €3€9: p = 0,1€150: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 37 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 37 min
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 5 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 2,2. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 225 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 2,45, o skirtumų standartinis nuokrypis 10,6. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 2,45sd = 10,6
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100 atliekamas, kai α = 0.10, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 98.55. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 100μ = 98,55σ = 5n = 100α = 0,10
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5, 10). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(5, 10)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 4289 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = r/m = 0,06/4 = 0,015
N = m·n = 4·6 = 24
Būsimoji vertė
FV = 3 000·(1 + 0,015)24 = 3 000·1,43 = €4 288,51
Atsakymas
FV = €4 288,51
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 13126 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 8 000/(0,09 − 0,02) = 114 285,71
NPV
NPV = 114 285,71 − 100 000 = €14 285,71
Atsakymas
NPV = €14 285,71
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 6,961 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 7 500 − 11 500 = −4 000
ΔCF2 = 12 500 − 8 000 = 4 500
ΔCF3 = 16 500 − 4 500 = 12 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(6%) = 306,83
NPVΔ(7%) = −12,27
r* = 6,961%
Atsakymas
r* = 6,961%
Patikra: esant 6,961%, abi NPV lygios €1 421,60.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = −212,7 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 065 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Skaitinis sprendimas
P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63
YTM = 4,995%
Atsakymas
YTM = 4,995%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,441 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·9% + 0,25·3,5%·(1 − 0,21) = 7,441%
Atsakymas
WACC = 7,441%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 5,668 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,8·(1 + 0,742·0,4) = 1,037
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1% + 1,037·4,5% = 5,668%
Atsakymas
re = 5,668%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,3
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (410 − 500)/60 = −1,5
Atsakymas
z = −1,5
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1648
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648
Atsakymas
P = 0,1648
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,9 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,1), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,88)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,1 + 147·0,02 − 3·0,88 = 0,9 €
Atsakymas
E(G) = 0,9 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,02275
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartizuokite
z = (37 − 32)/2,5 = 2
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 241,8 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,05
z iš lentelės
z ≈ −1,64
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Atsakymas
x = 241,8 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 0,558
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/225) = 0,2536
Nauja paklaidos riba
E₂ = 2,2·0,2536 = 0,558
Atsakymas
E₂ = 0,558
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −12,84 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (4·1,5² + 11·7,5²)/15 = 41,85
sp = 6,469
Paklaidos riba
E = 2,131·6,469·√(1/5 + 1/12) = 7,338
Intervalas
−5,5 ± 7,338 → [−12,84, 1,838]
Atsakymas
apatinis rėžis = −12,84 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,8007
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 10,6/√12 = 3,06
Testo statistika
t = 2,45/3,06 = 0,8007
Atsakymas
t = 0,8007
Kai df = 11, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,201; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 94,72 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 100 − 1,282·0,5 = 99,36
z esant tikrajam vidurkiui
z = (99,36 − 98,55)/0,5 = 1,618
Galia
galia = P(Z < 1.618) = 94.72%
1 − β = 94,72%
Atsakymas
1 − β = 94,72%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9844
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 121/5 = 24,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 44,8
Determinacijos koeficientas
r² = −21²/(10·44,8) = 0,9844
Atsakymas
r² = 0,9844
Apie 98,44% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −4,05
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 82/5 = 16,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Regresijos tiesė
b = 94/40 = 2,35
a = 16,4 − 2,35·6 = 2,3
ŷ = 2,3 + 2,35·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 2,3 + 2,35·5 = 14,05
Liekana
e = 10 − 14,05 = −4,05
Atsakymas
e = −4,05
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.