Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €10 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 2% per metus. Reikalaujama grąža 5% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €10 000g = 2%r = 5%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 19 metų įnešate €2 500, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 3% per metus. Kiek bus sąskaitoje 19-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €2 500i = 3%n = 19
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000, tarnauja 6 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €4 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 12%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €50 000M = €4 000n = 6r = 12%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €15 500, €14 500, €17 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 15 500CF2 = 14 500CF3 = 17 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą ir išperkama po 14 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 2,5% iki 1%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 7%n = 14y1 = 2,5%y2 = 1%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą ir išperkama po 6 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 3%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 6YTM = 3%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė finansuojama €5 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €2 000 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €6 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 13%, privilegijuotųjų akcijų kaina 7,5%, skolos kaina prieš mokesčius 4%. Mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €17,00 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 1,8, nerizikinga palūkanų norma – 1%, rinkos grąža – 5%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 54?
μ = 50σ = 10x = 54
P =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 4 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
4 / 3
P =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 7p = 0,2k = 4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 248,75 ir 256,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 248,75x2 = 256,25
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 7,3, o standartinis nuokrypis 3,7. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 15d̄ = 7,3sd = 3,795%t(14) = 2,145
apatinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,15. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?
p ≈ 0,15E = 0,0390%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 121,8, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121,8s = 5n = 36
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 12. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 12E = 190%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 134?
n = 6ŷ = 134
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 333333 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,03)19 − 1)/0,03 = 25,12
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 2 500·25,12·1,03 = €64 675,94
Atsakymas
FV = €64 675,94
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 16161 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,12−6)/0,12 = 4,111
Metinė pirkimo kainos dalis
50 000/4,111 = 12 161,29
EAC
EAC = 12 161,29 + 4 000 = €16 161,29
Atsakymas
EAC = €16 161,29
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 38,96 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(35%) = 1 347,10
NPV(40%) = −335,28
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 50/1,03 = 48,54, t·PV = 48,54
t = 2: 50/1,061 = 47,13, t·PV = 94,26
t = 3: 50/1,093 = 45,76, t·PV = 137,27
t = 4: 50/1,126 = 44,42, t·PV = 177,70
t = 5: 50/1,159 = 43,13, t·PV = 215,65
t = 6: 1050/1,194 = 879,36, t·PV = 5 276,15
Trukmė
P = 1 108,34
D = 5 949,57/1 108,34 = 5,368
Atsakymas
D = 5,368 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,446 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2857
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0,2857
Atsakymas
P = 0,2857
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,02867
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25
Plotas tarp
P = Φ(1,25) − Φ(−0,25) = 0,8944 − 0,4013 = 0,4931
Atsakymas
P = 0,4931
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 254,2 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Atgal į x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Atsakymas
x = 254,21 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 5,251 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 14, t = 2,145
Paklaidos riba
E = 2,145·3,7/√15 = 2,049
Intervalas
7,3 ± 2,049 → [5,251, 9,349]
Atsakymas
apatinis rėžis = 5,251 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 384
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,15·0,85/0,03² = 383,4
Apvalinkite aukštyn
n = 384
Atsakymas
n = 384
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,16
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 390
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·12/1)² = 389,7
Apvalinkite aukštyn
n = 390
Atsakymas
n = 390
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,965
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 409/5 = 81,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
Syy = Σ(y − ȳ)² = 696,8
Determinacijos koeficientas
r² = 246²/(90·696,8) = 0,965
Atsakymas
r² = 0,965
Apie 96,5% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 24,97
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 734/6 = 122,3
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414
Regresijos tiesė
b = 414/70 = 5,914
a = 122,3 − 5,914·23 = −13,7
ŷ = −13,7 + 5,914·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (134 − (−13,7))/5,914 = 24,97
Atsakymas
x = 24,97
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.