Investuojate €1 000 esant 3,6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 10 metų.
PV = €1 0003,6% / 4n = 10
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metus. Palūkanų norma – 2,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €150 0002,4% / 12N = 360
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €16 000, €20 000, €18 000, €27 000. Kapitalo kaina – 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €21 500, €13 000, €15 000, €16 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 10 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą ir išperkama po 7 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 9% iki 7%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 8%n = 7y1 = 9%y2 = 7%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €940. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 8P = €940
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €4 000 000, o skola – €3 000 000. Jos WACC 8%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 20%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €40,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 0,6, nerizikinga palūkanų norma – 2%, rinkos grąža – 8%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 80?
μ = 70σ = 8x = 80
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 8 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 8
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €10. Laimite €20 su tikimybe 0,2 ir €200 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €10€20: p = 0,2€200: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 242,75 ir 251,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 250σ = 5x1 = 242,75x2 = 251,25
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 9,9, o standartinis nuokrypis 2,7. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 6d̄ = 9,9sd = 2,790%t(5) = 2,015
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 24. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?
σ = 24E = 0,590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
81 studentų imties vidutinis rezultatas – 52,13, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,13s = 8n = 81
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
36 matavimų imties vidurkis – 504,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 504,6σ = 12n = 3695%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 97?
n = 5ŷ = 97
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 1431 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·30 = 360
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,4871
A = 150 000·0,002/(1 − 0,4871) = €584,91
Atsakymas
A = €584,91
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 3039 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 16 000/1,1 = 14 545,45
CF2/(1 + 0,1)2 = 20 000/1,21 = 16 528,93
CF3/(1 + 0,1)3 = 18 000/1,331 = 13 523,67
CF4/(1 + 0,1)4 = 27 000/1,464 = 18 441,36
Sudėkite
NPV = €3 039,41
Atsakymas
NPV = €3 039,41
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 17,92 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
21 500·1,13 = 28 616,50
13 000·1,12 = 15 730,00
15 000·1,11 = 16 500,00
16 500·1,10 = 16 500,00
TV = 77 346,50
MIRR
MIRR = (77 346,50/40 000)1/4 − 1 = 17,92%
Atsakymas
MIRR = 17,92%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: ΔP = 104,2 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €937,90
YTM = 5,965%
Atsakymas
YTM = 5,965%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 11 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC skolos dalis
0,4286·5%·(1 − 0,2) = 1,714%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (8% − 1,714%)/0,5714 = 11%
Atsakymas
re = 11%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,353 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Atsakymas
P = 0,1056
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,7674
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Atsakymas
P = 0,7674
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −2 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 10 (p = 0,2), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)
Laukiamoji vertė
E(G) = 10·0,2 + 190·0,02 − 10·0,78 = −2 €
Atsakymas
E(G) = −2 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,5252
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Atgal į x
x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g
Atsakymas
x = 259,8 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 2,221 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 5, t = 2,015
Paklaidos riba
E = 2,015·2,7/√6 = 2,221
Atsakymas
E = 2,221 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 6235
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·24/0,5)² = 6235
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 6235
Atsakymas
n = 6235
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,396
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 500,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·12/√36 = 3,92
Intervalo rėžis
L = 504,6 − 3,92 = 500,7
Atsakymas
L = 500,7
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,8682
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 115/5 = 23
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 26
Koreliacijos koeficientas
r = −14/√(10·26) = −0,8682
Atsakymas
r = −0,8682
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 17,95
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 514/5 = 102,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220
Regresijos tiesė
b = 220/40 = 5,5
a = 102,8 − 5,5·19 = −1,7
ŷ = −1,7 + 5,5·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (97 − (−1,7))/5,5 = 17,95
Atsakymas
x = 17,95
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.