Investuojate €1 000 esant 6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 6 metų.
PV = €1 0006% / 12n = 6
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€8 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 6 metus. Palūkanų norma – 4,8 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €8 0004,8% / 12N = 72
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €100 000. Kiekvienų metų pabaigoje 4 metų ji generuoja €27 000, o po to gali būti parduota už €15 000. Kapitalo kaina 6%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF = €27 000S = €15 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €11 500, €13 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 13 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 8% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 5%YTM = 8%n = 4
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 9 metų. Ji parduodama už €785. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 2% (2×)n = 9P = €785
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €1 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 11%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €19,50 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 000. Skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 1,1, nerizikinga palūkanų norma – 4%, rinkos grąža – 9,5%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 44?
μ = 50σ = 5x = 44
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 10 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 10k = 4
N =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €3. Laimite €9 su tikimybe 0,3 ir €60 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €3€9: p = 0,3€60: p = 0,05
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 88,75 ir 103,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 100σ = 15x1 = 88,75x2 = 103,75
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 4,5, o standartinis nuokrypis 6,4. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 6d̄ = 4,5sd = 6,490%t(5) = 2,015
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,8. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?
p ≈ 0,8E = 0,0195%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 504,3, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 504,3s = 15n = 36
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 3 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 22. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 55). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 55)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 1432 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·6 = 72
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,7502
A = 8 000·0,004/(1 − 0,7502) = €128,10
Atsakymas
A = €128,10
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 5439 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 1 198,35
NPV(15%) = −170,13
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €25,00, i = 0,04, N = 8
Kuponų dabartinė vertė
€25,00·(1 − 0,7307)/0,04 = €168,32
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7307 = €730,69
Kaina
P = €899,01
Atsakymas
P = €899,01
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 4,995 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, N = 18
Skaitinis sprendimas
i = 2,498% per pusmetį
YTM
YTM = 2·2,498% = 4,995%
Atsakymas
YTM = 4,995%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,4 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692
WACC
WACC = 0,9231·11% + 0,07692·4%·(1 − 0,21) = 10,4%
Atsakymas
WACC = 10,4%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,859 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Atsakymas
P = 0,8849
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 210
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210
Atsakymas
N = 210
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 2,7 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,3), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,65)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,3 + 57·0,05 − 3·0,65 = 2,7 €
Atsakymas
E(G) = 2,7 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,3721
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75
z₂ = (103,75 − 100)/15 = 0,25
Plotas tarp
P = Φ(0,25) − Φ(−0,75) = 0,5987 − 0,2266 = 0,3721
Atsakymas
P = 0,3721
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 187 cm
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Atgal į x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Atsakymas
x = 186,97 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 5,265 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 5, t = 2,015
Paklaidos riba
E = 2,015·6,4/√6 = 5,265
Atsakymas
E = 5,265 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 6147
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,8·0,2/0,01² = 6147
Apvalinkite aukštyn
n = 6147
Atsakymas
n = 6147
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,72
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 333
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 0,842)·22/3)² = 332,6
Apvalinkite aukštyn
n = 333
Atsakymas
n = 333
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9529
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 124/6 = 20,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50
Syy = Σ(y − ȳ)² = 157,3
Koreliacijos koeficientas
r = −50/√(17,5·157,3) = −0,9529
Atsakymas
r = −0,9529
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −4,1
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 311/5 = 62,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Regresijos tiesė
b = 62/10 = 6,2
a = 62,2 − 6,2·4 = 37,4
ŷ = 37,4 + 6,2·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 37,4 + 6,2·3,5 = 59,1
Liekana
e = 55 − 59,1 = −4,1
Atsakymas
e = −4,1
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.