Po 8 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 4 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0004% / 12n = 8
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Po 15 metų norite turėti €75 000. Kiekvieno mėnesio pabaigoje atidedate tą pačią sumą į sąskaitą, kuri moka 6% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite mėnesio įnašą A.
FV = €75 0006% / 12N = 180
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 8 metų ji generuoja €8 500, o po to gali būti parduota už €7 500. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €50 000CF = €8 500S = €7 500n = 8r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €3 500, €5 000, €5 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 10 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 5 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €893, kai pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 5P = €893YTM = 5,5%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 4%, išperkama po 7 metų ir parduodama už €865. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 7P = €865
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €28,50 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 050. Skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 1,5, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 108 z įvertį z.
μ = 100σ = 8x = 108
z =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 9 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 9k = 2
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 8p = 0,4k = 4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9015. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9015
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 80 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 29. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?
σ = 29E = 1,595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 40 detalių imties vidutinis ilgis 61 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 14 mm. 2 linija: 80 detalių imties vidurkis 70,2 mm, žinomas standartinis nuokrypis 19 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
64 matavimų imties vidurkis – 502,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 502,6σ = 12n = 6490%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 57?
n = 5ŷ = 57
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 36327 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·8 = 96
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,376 = €36 326,78
Atsakymas
PV = €36 326,78
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 257,9 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
8 500·5,335 = 45 346,87
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
7 500/2,144 = 3 498,81
NPV
NPV = −50 000 + 45 346,87 + 3 498,81 = −€1 154,32
Atsakymas
NPV = −€1 154,32
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 13,79 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
3 500·1,12 = 4 235,00
5 000·1,11 = 5 500,00
5 000·1,10 = 5 000,00
TV = 14 735,00
MIRR
MIRR = (14 735,00/10 000)1/3 − 1 = 13,79%
Atsakymas
MIRR = 13,79%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 2,994 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,055)−5 = €765,13
Kuponas
C = (893 − 765,13)/4,27 = €29,94
Kupono norma
c = 29,94/1000 = 2,994%
Atsakymas
c = 2,994%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 6,458 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€865 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Skaitinis sprendimas
P(6%) = €888,35, P(7%) = €838,32
YTM = 6,458%
Atsakymas
YTM = 6,458%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,987 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·13% + 0,4·4%·(1 − 0,258) = 8,987%
Atsakymas
WACC = 8,987%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,276 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (108 − 100)/8 = 1
Atsakymas
z = 1
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 36
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36
Atsakymas
N = 36
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2322
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,9015 = 0,0985
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,0985 ir nuskaitykite z.
z = −1,29
Atsakymas
z = −1,29
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 534 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,8
z iš lentelės
z ≈ 0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 0,84·40 = 534 h
Atsakymas
x = 534 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 68,67
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Paklaidos riba
E = 2,179·16/√13 = 9,67
Intervalas
59 ± 9,67 → [49,33, 68,67]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 68,67
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1436
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·29/1,5)² = 1436
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1436
Atsakymas
n = 1436
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,999
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 505,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·12/√64 = 2,468
Intervalo rėžis
U = 502,6 + 2,468 = 505,1
Atsakymas
U = 505,1
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9859
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1716 − 25·331/5 = 61
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 22295 − 331²/5 = 382,8
Koreliacijos koeficientas
r = 61/√(10·382,8) = 0,9859
Atsakymas
r = 0,9859
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 1,923
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 375/5 = 75
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234
Regresijos tiesė
b = 234/40 = 5,85
a = 75 − 5,85·5 = 45,75
ŷ = 45,75 + 5,85·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (57 − 45,75)/5,85 = 1,923
Atsakymas
x = 1,923
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.