Investuojate €2 000 esant 4,8 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 7 metų.
PV = €2 0004,8% / 12n = 7
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€250 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metų, esant 7,2% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 6-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €250 0007,2% / 12N = 360k = 72
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €60 000. Kiekvienų metų pabaigoje 7 metų ji generuoja €12 000, o po to gali būti parduota už €9 000. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €60 000CF = €12 000S = €9 000n = 7r = 12%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €11 500, €8 000, €12 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 8 000CF3 = 12 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 7 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 7%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 7y0 = 7%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą ir išperkama po 6 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 5%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 6YTM = 5%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €36,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 050. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 21%. Akcijos beta koeficientas – 0,6, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 10?
μ = 50σ = 20x = 10
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,25. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 6p = 0,25
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 93,25 ir 127,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 100σ = 15x1 = 93,25x2 = 127,75
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 90 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −4,8, o standartinis nuokrypis 0,7. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 7d̄ = −4,8sd = 0,790%t(6) = 1,943
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 16E = 390%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 117,5, standartinis nuokrypis 2. 2 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 114,3, standartinis nuokrypis 8,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 6x̄₁ = 117,5s₁ = 2n₂ = 8x̄₂ = 114,3s₂ = 8,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 70,7. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 70,7σ = 20n = 4990%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (9, 28). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(9, 28)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 2797 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 360 − 72 = 288
B = 1697·(1 − (1 + 0,006)−288)/0,006 = €232 326,88
Atsakymas
B = €232 326,88
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −1164 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
12 000·4,564 = 54 765,08
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
9 000/2,211 = 4 071,14
NPV
NPV = −60 000 + 54 765,08 + 4 071,14 = −€1 163,78
Atsakymas
NPV = −€1 163,78
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 26,56 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 464,00
NPV(30%) = −958,12
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 25 + 5·464,00/(464,00 − (−958,12)) = 26,63%
tiksliai: NPV(26,56%) = 0 → IRR = 26,56%
Atsakymas
IRR = 26,56%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 9,804 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 40/1,05 = 38,10, t·PV = 38,10
t = 2: 40/1,103 = 36,28, t·PV = 72,56
t = 3: 40/1,158 = 34,55, t·PV = 103,66
t = 4: 40/1,216 = 32,91, t·PV = 131,63
t = 5: 40/1,276 = 31,34, t·PV = 156,71
t = 6: 1040/1,34 = 776,06, t·PV = 4 656,38
Trukmė
P = 949,24
D = 5 159,04/949,24 = 5,435
Atsakymas
D = 5,435 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,96 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·3%·(1 − 0,258) = 8,96%
Atsakymas
WACC = 8,96%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,258 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,7
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Dispersija
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Atsakymas
Var(X) = 0,7
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5339
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,756 = 0,178
P(X = 1) = 6·0,25·0,755 = 0,356
Sudėkite
P = 0,178 + 0,356 = 0,5339
Atsakymas
P = 0,5339
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6415
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Plotas tarp
P = Φ(1,85) − Φ(−0,45) = 0,9678 − 0,3264 = 0,6415
Atsakymas
P = 0,6415
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 243,6 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,1
z iš lentelės
z ≈ −1,28
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g
Atsakymas
x = 243,6 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 0,5141 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 6, t = 1,943
Paklaidos riba
E = 1,943·0,7/√7 = 0,5141
Atsakymas
E = 0,5141 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 77
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·16/3)² = 76,97
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 77
Atsakymas
n = 77
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,8952
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (5·2² + 7·8,5²)/12 = 43,81
sp = 6,619
Standartinė paklaida
SE = 6,619·√(1/6 + 1/8) = 3,575
Testo statistika
t = (117,5 − 114,3)/3,575 = 0,8952
Atsakymas
t = 0,8952
Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 66
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·20/√49 = 4,7
Intervalo rėžis
L = 70,7 − 4,7 = 66
Atsakymas
L = 66
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9905
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 3640 − 36·520/6 = 520
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 49004 − 520²/6 = 3937
Koreliacijos koeficientas
r = 520/√(70·3937) = 0,9905
Atsakymas
r = 0,9905
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,55
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 103/5 = 20,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Regresijos tiesė
b = 146/40 = 3,65
a = 20,6 − 3,65·6 = −1,3
ŷ = −1,3 + 3,65·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −1,3 + 3,65·9 = 31,55
Liekana
e = 28 − 31,55 = −3,55
Atsakymas
e = −3,55
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.