Investuojate €2 000 esant 2 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 9 metų.
PV = €2 0002% / 4n = 9
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 12 metus atidedate €200. Sąskaita moka 2,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2002,4% / 12N = 144
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €20 000 ir 1–5 metų pabaigoje grąžina po €6 500, €6 000, €8 000, €5 500, €5 500. Kapitalo kaina 6 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €18 500, €35 000, €27 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 18 500CF2 = 35 000CF3 = 27 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 3 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 8%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 9,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 3y0 = 8%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 10 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 9%), parduodama už €1 103. Emitentas gali ją išpirkti po 5 metų už €1 090 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 9%P = €1 103išpirkimo kaina = €1 090išpirkimas po 5 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 0,6, reikalaujama grąža 5,2%. Nerizikinga norma 1%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 0,6re = 5,2%rf = 1%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,5, įmonės akcijų beta 1,4. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 1,5. Mokesčio tarifas 28%, nerizikinga norma 2,5%, o rinkos rizikos premija 4%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 76 z įvertį z.
μ = 70σ = 10x = 76
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,15, 0,1, 0,3
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 11 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 11p = 0,2
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 169,6 ir 186,4 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 169,6x2 = 186,4
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 10 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 98,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 6 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 92,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 16E = 395%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 250; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 18. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 251,89. Tikrinkite H₀: μ = 250 prieš H₁: μ > 250. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 250σ = 18n = 144x̄ = 251,89H₁: μ > μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 12. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 12E = 2,595%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 55?
n = 6ŷ = 55
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 2393 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 6 500/1,06 = 6 132,08 → Σ = 6 132,08
metai 2: 6 000/1,124 = 5 339,98 → Σ = 11 472,05
metai 3: 8 000/1,191 = 6 716,95 → Σ = 18 189,01
metai 4: 5 500/1,262 = 4 356,52 → Σ = 22 545,52
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 3 + 1 810,99/4 356,52 = 3,416
Atsakymas
DPB = 3,416 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (2,938 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 26,29 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 1 024,00
NPV(30%) = −2 769,69
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1103 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Skaitinis sprendimas
y = 7%: €1 146,17
y = 8%: €1 101,18
YTC = 7,958%
Atsakymas
YTC = 7,958%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 7,499%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 8 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (5,2% − 1%)/0,6 = 7%
Rinkos grąža
rm = 1% + 7% = 8%
Atsakymas
rm = 8%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 11,06 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1,4/(1 + 0,72·0,5) = 1,029
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 1,029·(1 + 0,72·1,5) = 2,141
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2,5% + 2,141·4% = 11,06%
Atsakymas
re = 11,06%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 7,765
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (76 − 70)/10 = 0,6
Atsakymas
z = 0,6
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 2,79
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,811 = 0,0859
P(X = 1) = 11·0,2·0,810 = 0,2362
Sudėkite
P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221
Atsakymas
P = 0,3221
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7699
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2
z₂ = (186,4 − 178)/7 = 1,2
Plotas tarp
P = Φ(1,2) − Φ(−1,2) = 0,8849 − 0,1151 = 0,7699
Atsakymas
P = 0,7699
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 449 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,1
z iš lentelės
z ≈ −1,28
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 − 1,28·40 = 449 h
Atsakymas
x = 449 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 0,9895 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 98,5 − 92,5 = 6
Standartinė paklaida
SE = √(6²/80 + 10²/30) = 1,945
Paklaidos riba
E = 2,576·1,945 = 5,011
Intervalas
6 ± 5,011 → [0,9895, 11,01]
Atsakymas
apatinis rėžis = 0,9895 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 110
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·16/3)² = 109,3
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 110
Atsakymas
n = 110
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,1038
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (251,89 − 250)/1,5 = 1,26
Uodegos plotas
Φ(1,26) = 0,8962
1 − Φ(1,26) = 0,1038
p reikšmė
p = 0,1038
Atsakymas
p = 0,1038
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 89
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,96·12/2,5)² = 88,51
Apvalinkite aukštyn
n = 89
Atsakymas
n = 89
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9932
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 558/6 = 93
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 394
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2248
Koreliacijos koeficientas
r = 394/√(70·2248) = 0,9932
Atsakymas
r = 0,9932
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 18,07
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 388/6 = 64,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
Regresijos tiesė
b = 172/70 = 2,457
a = 64,67 − 2,457·22 = 10,61
ŷ = 10,61 + 2,457·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (55 − 10,61)/2,457 = 18,07
Atsakymas
x = 18,07
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.