Po 2 metų jums reikės €10 000. Sąskaita moka 3,6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €10 0003,6% / 4n = 2
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 30 metus atidedate €100. Sąskaita moka 3,6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1003,6% / 12N = 360
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €23 000, €19 000, €26 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €6 000, €4 000, €2 000. Projektas B kainuoja €12 000 ir grąžina po €3 500, €5 000, €6 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 7 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 2%YTM = 5,5%n = 7
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 3% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 7 metų. Ji parduodama už €883. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 3% (2×)n = 7P = €883
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €4 000 000, o skola – €4 000 000. Jos WACC 6,7%, skolos kaina prieš mokesčius 3%, o mokesčio tarifas 20%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,7. Ji planuoja 0,5 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 28%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 4,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 60,4?
μ = 70σ = 12x = 60,4
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 7 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 7k = 3
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,5, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?
n = 7p = 0,5k = 2
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8064. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8064
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 10 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 21. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 21E = 499%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 23 studentų, vidutinis rezultatas 41,5, standartinis nuokrypis 8,5. 2 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 32,6, standartinis nuokrypis 2,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 23x̄₁ = 41,5s₁ = 8,5n₂ = 8x̄₂ = 32,6s₂ = 2,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 122,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 20. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 122,8σ = 20n = 2595%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 18,5.
n = 6x = 18,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 9308 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·2 = 8
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,074 = €9 308,31
Atsakymas
PV = €9 308,31
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 64664 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 23 000/1,09 = 21 100,92
CF2/(1 + 0,09)2 = 19 000/1,188 = 15 991,92
CF3/(1 + 0,09)3 = 26 000/1,295 = 20 076,77
Sudėkite
NPV = €−2 830,39
Atsakymas
NPV = €−2 830,39
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 9,256 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 000 = 4 500
Skirtumo IRR
NPVΔ(9%) = 22,93
NPVΔ(10%) = −65,36
r* = 9,256%
Atsakymas
r* = 9,256%
Patikra: esant 9,256%, abi NPV lygios €376,20.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 798,9 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, i = 0,0275, N = 14
Kuponų dabartinė vertė
€10,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €114,91
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,684 = €684,00
Kaina
P = €798,91
Atsakymas
P = €798,91
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 5,002 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €15,00, N = 14
Skaitinis sprendimas
i = 2,501% per pusmetį
YTM
YTM = 2·2,501% = 5,002%
Atsakymas
YTM = 5,002%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 11 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC skolos dalis
0,5·3%·(1 − 0,2) = 1,2%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (6,7% − 1,2%)/0,5 = 11%
Atsakymas
re = 11%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 6,284 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,7·(1 + 0,72·0,5) = 0,952
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 0,952·4,5% = 6,284%
Atsakymas
re = 6,284%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 12,27
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,8
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 35
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35
Atsakymas
N = 35
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1641
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,8064)/2 = 0,9032
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9032 ir nuskaitykite z.
z = 1,30
Atsakymas
z = 1,30
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 551 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,9
z iš lentelės
z ≈ 1,28
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 1,28·40 = 551 h
Atsakymas
x = 551 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 51,15
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Paklaidos riba
E = 1,729·3,5/√20 = 1,353
Intervalas
52,5 ± 1,353 → [51,15, 53,85]
Atsakymas
apatinis rėžis = 51,15
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 183
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·21/4)² = 182,9
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 183
Atsakymas
n = 183
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,889
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (22·8,5² + 7·2,5²)/29 = 56,32
sp = 7,505
Standartinė paklaida
SE = 7,505·√(1/23 + 1/8) = 3,08
Testo statistika
t = (41,5 − 32,6)/3,08 = 2,889
Atsakymas
t = 2,889
Kai df = 29, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,045; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 130,6
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·20/√25 = 7,84
Intervalo rėžis
U = 122,8 + 7,84 = 130,6
Atsakymas
U = 130,6
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9751
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 470/6 = 78,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2027
Determinacijos koeficientas
r² = 372²/(70·2027) = 0,9751
Atsakymas
r² = 0,9751
Apie 97,51% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 43,27
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 315/6 = 52,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 484,5
Regresijos tiesė
b = 484,5/157,5 = 3,076
a = 52,5 − 3,076·21,5 = −13,64
ŷ = −13,64 + 3,076·x
Prognozė
ŷ = −13,64 + 3,076·18,5 = 43,27
Atsakymas
ŷ = 43,27
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.