Po 9 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 3 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0003% / 4n = 9
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 20 metų įnešate €5 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 7% per metus. Kiek bus sąskaitoje 20-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €5 000i = 7%n = 20
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €60 000 ir 1–5 metų pabaigoje grąžina po €23 500, €12 500, €24 000, €19 000, €24 500. Kapitalo kaina 10 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas A kainuoja €30 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €17 500, €11 500, €7 000. Projektas B kainuoja €35 000 ir grąžina po €9 000, €13 500, €19 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 8 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 8% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 8%n = 8
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €990, jos pajamingumas iki išpirkimo 7% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 11,5 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas sumažėja 75 baziniais punktais.
P0 = €990y = 7%D = 11,5Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 0,9, reikalaujama grąža 9,8%. Nerizikinga norma 3,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 0,9re = 9,8%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €54,00 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 050. Skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 25%. Akcijos beta koeficientas – 1,2, nerizikinga palūkanų norma – 3,5%, rinkos grąža – 10,5%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 67,5?
μ = 60σ = 5x = 67,5
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 3
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €3. Laimite €12 su tikimybe 0,15 ir €30 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €3€12: p = 0,15€30: p = 0,01
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9345. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9345
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).
Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 16E = 2,599%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 83, standartinis nuokrypis 3,5. 2 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 84,9, standartinis nuokrypis 7. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 6x̄₁ = 83s₁ = 3,5n₂ = 10x̄₂ = 84,9s₂ = 7
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 14. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 65). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 65)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 38207 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·9 = 36
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,309 = €38 207,45
Atsakymas
PV = €38 207,45
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 219326 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,07)20 − 1)/0,07 = 41
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 5 000·41·1,07 = €219 325,88
Atsakymas
FV = €219 325,88
3.NPV ir IRR
Atsakymas: DPB = 3,792 metai
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 23 500/1,1 = 21 363,64 → Σ = 21 363,64
metai 2: 12 500/1,21 = 10 330,58 → Σ = 31 694,21
metai 3: 24 000/1,331 = 18 031,56 → Σ = 49 725,77
metai 4: 19 000/1,464 = 12 977,26 → Σ = 62 703,03
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 3 + 10 274,23/12 977,26 = 3,792
Atsakymas
DPB = 3,792 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 3,25 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 000 − 17 500 = −8 500
ΔCF2 = 13 500 − 11 500 = 2 000
ΔCF3 = 19 500 − 7 000 = 12 500
Skirtumo IRR
NPVΔ(3%) = 72,04
NPVΔ(4%) = −211,51
r* = 3,25%
Atsakymas
r* = 3,25%
Patikra: esant 3,25%, abi NPV lygios €4 096,14.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 767 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,04, N = 16
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €233,05
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5339 = €533,91
Kaina
P = €766,95
Atsakymas
P = €766,95
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1070 €
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 11,5/1,07 = 10,75
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −10,75·(−0,0075) = 8,061%
P ≈ 990·(1 + 0,08061) = €1 069,80
Atsakymas
P = €1 069,80
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 10,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (9,8% − 3,5%)/0,9 = 7%
Rinkos grąža
rm = 3,5% + 7% = 10,5%
Atsakymas
rm = 10,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 11,08 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,4213
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Atsakymas
P = 0,4213
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −0,9 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 9 (p = 0,15), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)
Laukiamoji vertė
E(G) = 9·0,15 + 27·0,01 − 3·0,84 = −0,9 €
Atsakymas
E(G) = −0,9 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −1,51
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,9345 = 0,0655
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,0655 ir nuskaitykite z.
z = −1,51
Atsakymas
z = −1,51
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 565,8 h
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Atgal į x
x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h
Atsakymas
x = 565,8 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 19,31
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Paklaidos riba
E = 3,169·7/√11 = 6,688
Intervalas
26 ± 6,688 → [19,31, 32,69]
Atsakymas
apatinis rėžis = 19,31
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 272
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·16/2,5)² = 271,8
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 272
Atsakymas
n = 272
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −0,6143
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (5·3,5² + 9·7²)/14 = 35,88
sp = 5,99
Standartinė paklaida
SE = 5,99·√(1/6 + 1/10) = 3,093
Testo statistika
t = (83 − 84,9)/3,093 = −0,6143
Atsakymas
t = −0,6143
Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 105
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 1,282)·14/4)² = 104,9
Apvalinkite aukštyn
n = 105
Atsakymas
n = 105
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,7129
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 226/5 = 45,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24
Syy = Σ(y − ȳ)² = 80,8
Determinacijos koeficientas
r² = 24²/(10·80,8) = 0,7129
Atsakymas
r² = 0,7129
Apie 71,29% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −4,75
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 358/5 = 71,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37
Regresijos tiesė
b = 37/10 = 3,7
a = 71,6 − 3,7·4 = 56,8
ŷ = 56,8 + 3,7·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 56,8 + 3,7·3,5 = 69,75
Liekana
e = 65 − 69,75 = −4,75
Atsakymas
e = −4,75
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.