Investuojate €20 000 esant 2 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 2 metų.
PV = €20 0002% / 12n = 2
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Pasiskolinate €5 000 esant 4,8 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €100. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.
P = €5 000A = €1004,8% / 12
N = įmokos
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €80 000. Kiekvienų metų pabaigoje 7 metų ji generuoja €16 000, o po to gali būti parduota už €16 000. Kapitalo kaina 8%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €80 000CF = €16 000S = €16 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas A kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €6 000, €3 500, €2 500. Projektas B kainuoja €12 000 ir grąžina po €3 500, €5 000, €6 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 8 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 7%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 8,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 8y0 = 7%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 7 metų ir parduodama už €905. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 7P = €905
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 1. Jos nuosavo kapitalo kaina 8%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%, o mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC.
D/E = 1re = 8%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 4 000 000 akcijų, kurių kaina €60,00; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €96 000 000. Ji ką tik išmokėjo €2,50 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 4% per metus. Jos skolos rinkos vertė €144 000 000, o kaina prieš mokesčius 5%. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9729. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9729
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 25 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 47 h, žinomas standartinis nuokrypis 9 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 34 h, žinomas standartinis nuokrypis 19 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,8. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?
p ≈ 0,8E = 0,02590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 71,4, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,4s = 8n = 16
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 5 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 27. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 20816 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pertvarkykite anuiteto formulę
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,004/100 = 0,8
Spręskite logaritmais
N = −ln(0,8)/ln(1,004) = 55,9
Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų
Po 55 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.
N = 56
Atsakymas
N = 56 įmokos
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 12638 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
16 000·5,206 = 83 301,92
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
16 000/1,714 = 9 335,85
NPV
NPV = −80 000 + 83 301,92 + 9 335,85 = €12 637,77
Atsakymas
NPV = €12 637,77
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 9,671 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 3 500 = 1 500
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(9%) = 57,68
NPVΔ(10%) = −27,80
r* = 9,671%
Atsakymas
r* = 9,671%
Patikra: esant 9,671%, abi NPV lygios €276,17.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = −2,016 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Skaitinis sprendimas
P(9%) = €949,67, P(10%) = €902,63
YTM = 9,948%
Atsakymas
YTM = 9,948%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,777 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·4,5%·(1 − 0,21) = 5,777%
Atsakymas
WACC = 5,777%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,708 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Nuosavo kapitalo kaina
D1 = 2,5·1,04 = €2,60
re = 2,6/60 + 0,04 = 8,333%
Rinkos vertės
E = 4 000 000·€60,00 = €240 000 000
V = €384 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8,333% + 0,375·5%·(1 − 0,2) = 6,708%
Atsakymas
WACC = 6,708%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,39
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (110 − 70)/20 = 2
Atsakymas
z = 2
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,347
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,3 = 2,45
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,3 = 7,35
Dispersija
Var(X) = 7,35 − 2,45² = 1,347
Atsakymas
Var(X) = 1,347
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 9,097
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,35, Var(X) = 0,8275, σX = 0,9097
Tiesinis pokytis
σY = |10|·0,9097 = 9,097
Atsakymas
σY = 9,097
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·2,35 − 3 = 20,5.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 2,21
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9729)/2 = 0,9864
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9864 ir nuskaitykite z.
z = 2,21
Atsakymas
z = 2,21
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 173,3 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,25
z iš lentelės
z ≈ −0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm
Atsakymas
x = 173,3 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 3,112 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 47 − 34 = 13
Standartinė paklaida
SE = √(9²/30 + 19²/30) = 3,838
Paklaidos riba
E = 2,576·3,838 = 9,888
Intervalas
13 ± 9,888 → [3,112, 22,89]
Atsakymas
apatinis rėžis = 3,112 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 693
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,8·0,2/0,025² = 692,7
Apvalinkite aukštyn
n = 693
Atsakymas
n = 693
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 181
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 0,842)·27/5)² = 180,4
Apvalinkite aukštyn
n = 181
Atsakymas
n = 181
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9685
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 470/5 = 94
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 330
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1290
Koreliacijos koeficientas
r = 330/√(90·1290) = 0,9685
Atsakymas
r = 0,9685
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 20,9
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24,5
Regresijos tiesė
b = −24,5/17,5 = −1,4
a = 19,5 − (−1,4)·3,5 = 24,4
ŷ = 24,4 − 1,4·x
Prognozė
ŷ = 24,4 + (−1,4)·2,5 = 20,9
Atsakymas
ŷ = 20,9
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.