Po 7 metų jums reikės €10 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €10 0006% / 4n = 7
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Pasiskolinate €25 000 esant 3,6 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €325. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.
P = €25 000A = €3253,6% / 12
N = įmokos
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €30 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €9 000, €8 500, €11 500, €11 500. Kapitalo kaina 10 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €19 500, €37 000, €28 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 19 500CF2 = 37 000CF3 = 28 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 5 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 10 metų ir parduodama už €810. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 10P = €810
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €5 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €3 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 25%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €15 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 11%. Jos skolą sudaro 5 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%, iki išpirkimo 6 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 080. Mokesčio tarifas 28%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 90?
μ = 100σ = 10x = 90
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,3, 0,35, 0,15
σ =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,1, 0,2Y = 2X + 4
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 735,2 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735,2 g
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 80 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 38. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?
σ = 38E = 0,590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 46,64, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,64s = 12n = 25
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 20E = 190%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 83?
n = 6ŷ = 83
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 6591 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·7 = 28
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,517 = €6 590,99
Atsakymas
PV = €6 590,99
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: N = 88 įmokos
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pertvarkykite anuiteto formulę
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,003/325 = 0,7692
Spręskite logaritmais
N = −ln(0,7692)/ln(1,003) = 87,59
Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų
Po 87 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.
N = 88
Atsakymas
N = 88 įmokos
3.NPV ir IRR
Atsakymas: DPB = 3,783 metai
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 9 000/1,1 = 8 181,82 → Σ = 8 181,82
metai 2: 8 500/1,21 = 7 024,79 → Σ = 15 206,61
metai 3: 11 500/1,331 = 8 640,12 → Σ = 23 846,73
metai 4: 11 500/1,464 = 7 854,65 → Σ = 31 701,39
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 3 + 6 153,27/7 854,65 = 3,783
Atsakymas
DPB = 3,783 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,087 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 29,82 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 3 872,00
NPV(30%) = −134,27
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,0125, N = 10
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €186,91
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8832 = €883,18
Kaina
P = €1 070,09
Atsakymas
P = €1 070,09
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 5,524 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €845,57, P(6%) = €779,20
YTM = 5,524%
Atsakymas
YTM = 5,524%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,766 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·12% + 0,375·4,5%·(1 − 0,25) = 8,766%
Atsakymas
WACC = 8,766%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,755 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 0,9734
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,45
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,15 = 3,05
Dispersija
Var(X) = 3,05 − 1,45² = 0,9475
σ = √0,9475 = 0,9734
Atsakymas
σ = 0,9734
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 2,216
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 1,15, Var(X) = 1,227, σX = 1,108
Tiesinis pokytis
σY = |2|·1,108 = 2,216
Atsakymas
σY = 2,216
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·1,15 + 4 = 6,3.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9332
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standartizuokite
z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 466 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,2
z iš lentelės
z ≈ −0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Atsakymas
x = 466 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 110,5
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Paklaidos riba
E = 1,833·6/√10 = 3,478
Intervalas
114 ± 3,478 → [110,5, 117,5]
Atsakymas
apatinis rėžis = 110,5
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 15631
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·38/0,5)² = 15630
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 15631
Atsakymas
n = 15631
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1083
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·20/1)² = 1082
Apvalinkite aukštyn
n = 1083
Atsakymas
n = 1083
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9899
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 110/6 = 18,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Syy = Σ(y − ȳ)² = 421,3
Koreliacijos koeficientas
r = 170/√(70·421,3) = 0,9899
Atsakymas
r = 0,9899
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 29,55
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 385/6 = 64,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 490,5
Regresijos tiesė
b = 490,5/157,5 = 3,114
a = 64,17 − 3,114·23,5 = −9,019
ŷ = −9,019 + 3,114·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (83 − (−9,019))/3,114 = 29,55
Atsakymas
x = 29,55
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.