Po 10 metų jums reikės €15 000. Sąskaita moka 3,6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €15 0003,6% / 4n = 10
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 20 metus atidedate €300. Sąskaita moka 4,8 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €3004,8% / 12N = 240
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €16 000, €19 000, €21 000, €16 000. Kapitalo kaina – 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–4 metų pabaigoje grąžina po €5 000, €4 000, €3 500, €5 500. Pinigų srautus galima reinvestuoti 6 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 10 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 8%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 4,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 10y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 7 metų ir parduodama už €1 090. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 7P = €1 090
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €14,00 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 1,8, nerizikinga palūkanų norma – 1,5%, rinkos grąža – 6%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 40. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 516?
μ = 500σ = 40x = 516
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,1, 0,15
σ =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X − 3
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,8869. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8869
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 25 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 elementų imties vidurkis – 102,5, standartinis nuokrypis s = 19. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 25x̄ = 102,5s = 1995%t(24) = 2,064
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 4,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.
n = 11s = 4,8 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 122,9, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,9s = 5n = 25
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 50,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 50,6σ = 8n = 2595%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (6, 65). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(6, 65)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 10482 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·10 = 40
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,431 = €10 482,01
Atsakymas
PV = €10 482,01
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 120503 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 16 000/1,12 = 14 285,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 19 000/1,254 = 15 146,68
CF3/(1 + 0,12)3 = 21 000/1,405 = 14 947,39
CF4/(1 + 0,12)4 = 16 000/1,574 = 10 168,29
Sudėkite
NPV = €−20 451,93
Atsakymas
NPV = €−20 451,93
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 18,41 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
5 000·1,063 = 5 955,08
4 000·1,062 = 4 494,40
3 500·1,061 = 3 710,00
5 500·1,060 = 5 500,00
TV = 19 659,48
MIRR
MIRR = (19 659,48/10 000)1/4 − 1 = 18,41%
Atsakymas
MIRR = 18,41%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 8,343 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Skaitinis sprendimas
P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86
YTM = 4,474%
Atsakymas
YTM = 4,474%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,125 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·13% + 0,625·4,5%·(1 − 0,2) = 7,125%
Atsakymas
WACC = 7,125%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,878 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 1 000 000·€14,00 = €14 000 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 1,5% + 1,8·4,5% = 9,6%
Svoriai
V = €19 100 000, E/V = 0,733, D/V = 0,267
WACC
WACC = 0,733·9,6% + 0,267·4,5%·(1 − 0,3) = 7,878%
Atsakymas
WACC = 7,878%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 12,75
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,431
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,8869 = 0,1131
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,1131 ir nuskaitykite z.
z = −1,21
Atsakymas
z = −1,21
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 182,7 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,75
z iš lentelės
z ≈ 0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm
Atsakymas
x = 182,7 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 7,843
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Paklaidos riba
E = 2,064·19/√25 = 7,843
Atsakymas
E = 7,843
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 8,424 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 10·4,8² = 230,4
σ² rėžiai
230,4/20,483 = 11,25
230,4/3,247 = 70,96
σ rėžis
σ = √70,96 = 8,424 µm
Atsakymas
σ = 8,424 µm
σ 95 % intervalas: [3,354, 8,424] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 53,74
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·8/√25 = 3,136
Intervalo rėžis
U = 50,6 + 3,136 = 53,74
Atsakymas
U = 53,74
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9959
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 410/6 = 68,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1081
Koreliacijos koeficientas
r = 274/√(70·1081) = 0,9959
Atsakymas
r = 0,9959
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,1
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 338/5 = 67,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Regresijos tiesė
b = 188/40 = 4,7
a = 67,6 − 4,7·7 = 34,7
ŷ = 34,7 + 4,7·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 34,7 + 4,7·6 = 62,9
Liekana
e = 65 − 62,9 = 2,1
Atsakymas
e = 2,1
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.