Investuojate €3 000 esant 3,6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 8 metų.
PV = €3 0003,6% / 12n = 8
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metų, esant 2,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 16-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €150 0002,4% / 12N = 360k = 192
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €100 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €11 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 2% per metus. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 2%r = 12%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €11 000, €13 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 13 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 8 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 7% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 7%n = 8
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €860. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 8P = €860
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €6 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 30%. Raskite WACC.
Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €48,00 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 000. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 112?
μ = 100σ = 8x = 112
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,1, 0,35, 0,05
σ =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €2. Laimite €4 su tikimybe 0,3 ir €100 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €2€4: p = 0,3€100: p = 0,05
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 200,4 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,4 mm
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 70 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.
n = 25s = 9 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 30 detalių imties vidutinis ilgis 44,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 17 mm. 2 linija: 60 detalių imties vidurkis 55,6 mm, žinomas standartinis nuokrypis 19 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 4000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,002, N = 360
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−360) = €584,91
Likusių įmokų dabartinė vertė
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 360 − 192 = 168
B = 584,9·(1 − (1 + 0,002)−168)/0,002 = €83 390,05
Atsakymas
B = €83 390,05
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 10000 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 11 000/(0,12 − 0,02) = 110 000,00
NPV
NPV = 110 000,00 − 100 000 = €10 000,00
Atsakymas
NPV = €10 000,00
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 14,14 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 1 157,02
NPV(15%) = −226,84
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,035, N = 16
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,5767)/0,035 = €241,88
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5767 = €576,71
Kaina
P = €818,59
Atsakymas
P = €818,59
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 8,481 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€860 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Skaitinis sprendimas
P(8%) = €885,07, P(9%) = €833,96
YTM = 8,481%
Atsakymas
YTM = 8,481%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,06 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·13% + 0,4·4,5%·(1 − 0,3) = 9,06%
Atsakymas
WACC = 9,06%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,987 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,352
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 2 (p = 0,3), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)
Laukiamoji vertė
E(G) = 2·0,3 + 98·0,05 − 2·0,65 = 4,2 €
Atsakymas
E(G) = 4,2 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,2119
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standartizuokite
z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Atsakymas
P = 0,2119
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 521 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 0,52·40 = 521 h
Atsakymas
x = 521 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 38,59
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Paklaidos riba
E = 2,797·10/√25 = 5,594
Intervalas
33 ± 5,594 → [27,41, 38,59]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 38,59
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 12,52 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 24·9² = 1944
σ² rėžiai
1944/39,364 = 49,39
1944/12,401 = 156,8
σ rėžis
σ = √156,8 = 12,52 µm
Atsakymas
σ = 12,52 µm
σ 95 % intervalas: [7,027, 12,52] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,806
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 590
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 0,842)·23/3)² = 589,9
Apvalinkite aukštyn
n = 590
Atsakymas
n = 590
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9411
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 349/6 = 58,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217
Syy = Σ(y − ȳ)² = 714,8
Determinacijos koeficientas
r² = 217²/(70·714,8) = 0,9411
Atsakymas
r² = 0,9411
Apie 94,11% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 20,67
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 124/6 = 20,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Regresijos tiesė
b = −21/17,5 = −1,2
a = 20,67 − (−1,2)·3,5 = 24,87
ŷ = 24,87 − 1,2·x
Prognozė
ŷ = 24,87 + (−1,2)·3,5 = 20,67
Atsakymas
ŷ = 20,67
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.