CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €1 000 esant 6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 4 metų.

PV = €1 0006% / 4n = 4

FV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

Pasiskolinate €5 000 esant 4,2 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €100. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.

P = €5 000A = €1004,2% / 12

N = įmokos

3.NPV ir IRRVidutinis

€60 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €16 000, €15 000, €26 000, €16 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 15 000CF₃ = 26 000CF₄ = 16 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €25 500, €33 500, €27 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −50 000CF₁ = 25 500CF₂ = 33 500CF₃ = 27 000

IRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 7 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 6%YTM = 2,5%n = 7

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 4%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €950. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.

F = €1 000kuponas = 4%n = 6P = €950

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonė turi €8 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 9%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 28%. Raskite WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,7. Ji planuoja 0,4 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 1,5%, o rinkos rizikos premija 6%. Raskite nuosavo kapitalo kainą r_e esant naujai kapitalo struktūrai.

β_U = 0,7D/E = 0,4T = 21%r_f = 1,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 25, 53, 59, 27, 12, 23, 38.

n = 7

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 25. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 550?

μ = 500σ = 25x = 550

P =

11.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25

Var(X) =

12.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €6 su tikimybe 0,15 ir €40 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€6: p = 0,15€40: p = 0,01

E(G) = €

13.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 110,1 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 110,1 s

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 elementų imties vidurkis – 95,5, standartinis nuokrypis s = 14,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 25x̄ = 95,5s = 14,590%t(24) = 1,711

viršutinis rėžis =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 7. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 7E = 0,590%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 97,8, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,8s = 8n = 64

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500 atliekamas, kai α = 0.05, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 30. Iš tikrųjų vidurkis lygus 496.7. Raskite testo galią 1 − β procentais.

μ₀ = 500μ = 496,7σ = 30n = 100α = 0,05

1 − β = %

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 42Σy = 64Σx² = 364Σy² = 824Σxy = 544

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 23?

n = 5ŷ = 23

x =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 1269 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·4 = 16

Būsimoji vertė

FV = 1 000·(1 + 0,015)¹⁶ = 1 000·1,269 = €1 268,99

Atsakymas

FV = €1 268,99

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: N = 56 įmokos

Pertvarkykite anuiteto formulę

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,0035/100 = 0,825

Spręskite logaritmais

N = −ln(0,825)/ln(1,004) = 55,06

Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų

Po 55 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.

N = 56

Atsakymas

N = 56 įmokos

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 2948 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 16 000/1,06 = 15 094,34

CF₂/(1 + 0,06)² = 15 000/1,124 = 13 349,95

CF₃/(1 + 0,06)³ = 26 000/1,191 = 21 830,10

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 16 000/1,262 = 12 673,50

Sudėkite

NPV = €2 947,89

Atsakymas

NPV = €2 947,89

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 32,4 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(30%) = 1 727,36

NPV(35%) = −1 755,83

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 30 + 5·1 727,36/(1 727,36 − (−1 755,83)) = 32,48%

tiksliai: NPV(32,4%) = 0 → IRR = 32,4%

Atsakymas

IRR = 32,4%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1223 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €30,00, i = 0,0125, N = 14

Kuponų dabartinė vertė

€30,00·(1 − 0,8404)/0,0125 = €383,12

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,8404 = €840,37

Kaina

P = €1 223,48

Atsakymas

P = €1 223,48

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 4,985 %

Pajamingumo lygtis

€950 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Skaitinis sprendimas

P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €949,24

YTM = 4,985%

Atsakymas

YTM = 4,985%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,994 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·9% + 0,4286·6%·(1 − 0,28) = 6,994%

Atsakymas

WACC = 6,994%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_e = 7,027 %

Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), kur β_U – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.

Sverta beta

β_L = 0,7·(1 + 0,79·0,4) = 0,9212

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,9212·6% = 7,027%

Atsakymas

r_e = 7,027%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,01

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 237/7 = 33,86

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−8,857)² + 19,14² + 25,14² + (−6,857)² + (−21,86)² + (−10,86)² + 4,143² = 1737

Standartinis nuokrypis

s = √(1737/6) = 17,01

Atsakymas

s = 17,01

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9772

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Atsakymas

P = 0,9772

11.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 5,24

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,25 = 2,6

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,25 = 12

Dispersija

Var(X) = 12 − 2,6² = 5,24

Atsakymas

Var(X) = 5,24

12.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −0,7 €

Grynosios baigtys

G: 4 (p = 0,15), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)

Laukiamoji vertė

E(G) = 4·0,15 + 38·0,01 − 2·0,84 = −0,7 €

Atsakymas

E(G) = −0,7 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,2119

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 191,7 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Atgal į x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Atsakymas

x = 191,72 cm

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 100,5

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Paklaidos riba

E = 1,711·14,5/√25 = 4,962

Intervalas

95,5 ± 4,962 → [90,54, 100,5]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 100,5

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 531

Išreikškite n

n = (1,645·7/0,5)² = 530,4

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 531

Atsakymas

n = 531

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Testo statistika

t = (97,8 − 100)/1 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: 1 − β = 29,29 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 500 − 1,645·3 = 495,1

z esant tikrajam vidurkiui

z = (495,1 − 496,7)/3 = −0,545

Galia

galia = P(Z < −0.545) = 29.29%

1 − β = 29,29%

Atsakymas

1 − β = 29,29%

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9652

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 544 − 42·64/6 = 96

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 824 − 64²/6 = 141,3

Koreliacijos koeficientas

r = 96/√(70·141,3) = 0,9652

Atsakymas

r = 0,9652

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 2,484

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Regresijos tiesė

b = −31/10 = −3,1

a = 21,4 − (−3,1)·3 = 30,7

ŷ = 30,7 − 3,1·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (23 − 30,7)/(−3,1) = 2,484

Atsakymas

x = 2,484

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income