Investuojate €12 000 esant 4 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 8 metų.
PV = €12 0004% / 4n = 8
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 30 metus atidedate €500. Sąskaita moka 7,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €5007,2% / 12N = 360
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€45 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €11 000, €9 000, €17 000, €17 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €30 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €16 500, €11 500, €7 000. Projektas B kainuoja €40 000 ir grąžina po €11 500, €15 000, €20 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 11 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €919, kai pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 11P = €919YTM = 5,5%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €1 065. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 9P = €1 065
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,75. Jos nuosavo kapitalo kaina 9%, skolos kaina prieš mokesčius 7%, o mokesčio tarifas 25%. Raskite WACC.
D/E = 0,75re = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €15 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 12%. Jos skolą sudaro 8 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 4%, iki išpirkimo 5 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 070. Mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 10 iš jų bendra masė viršija 405,7 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 405,7 g
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 3,9, o standartinis nuokrypis 4,6. Raskite vidutinio skirtumo 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 10d̄ = 3,9sd = 4,690%t(9) = 1,833
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,05?
p = 0,5E = 0,0590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 47,79, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,79s = 5n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500 atliekamas, kai α = 0.10, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 30. Iš tikrųjų vidurkis lygus 494.9. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 500μ = 494,9σ = 30n = 100α = 0,10
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 61). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 61)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 16499 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 11 000/1,08 = 10 185,19
CF2/(1 + 0,08)2 = 9 000/1,166 = 7 716,05
CF3/(1 + 0,08)3 = 17 000/1,26 = 13 495,15
CF4/(1 + 0,08)4 = 17 000/1,36 = 12 495,51
Sudėkite
NPV = €−1 108,11
Atsakymas
NPV = €−1 108,11
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 5,215 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 11 500 − 16 500 = −5 000
ΔCF2 = 15 000 − 11 500 = 3 500
ΔCF3 = 20 500 − 7 000 = 13 500
Skirtumo IRR
NPVΔ(5%) = 74,51
NPVΔ(6%) = −267,13
r* = 5,215%
Atsakymas
r* = 5,215%
Patikra: esant 5,215%, abi NPV lygios €2 080,40.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 4,499 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,055)−11 = €554,91
Kuponas
C = (919 − 554,91)/8,093 = €44,99
Kupono norma
c = 44,99/1000 = 4,499%
Atsakymas
c = 4,499%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 7,002 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 065 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(7%) = €1 065,15, P(8%) = €1 000,00
YTM = 7,002%
Atsakymas
YTM = 7,002%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,393 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·9% + 0,4286·7%·(1 − 0,25) = 7,393%
Atsakymas
WACC = 7,393%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,274 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (66 − 50)/8 = 2
Atsakymas
z = 2
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,06667
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667
Atsakymas
P = 0,06667
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 24,82
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 26, Var(X) = 154, σX = 12,41
Tiesinis pokytis
σY = |2|·12,41 = 24,82
Atsakymas
σY = 24,82
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·26 − 3 = 49.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,06681
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 400 g, σT = 1,2·√10 = 3,795 g
Standartizuokite
z = (405,7 − 400)/3,795 = 1,5
Tikimybė
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8133
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Atsakymas
P = 0,8133
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 2,666 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 9, t = 1,833
Paklaidos riba
E = 1,833·4,6/√10 = 2,666
Atsakymas
E = 2,666 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 271
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,05² = 270,6
Apvalinkite aukštyn
n = 271
Atsakymas
n = 271
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,094
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 66,2 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 500 − 1,282·3 = 496,2
z esant tikrajam vidurkiui
z = (496,2 − 494,9)/3 = 0,418
Galia
galia = P(Z < 0.418) = 66.2%
1 − β = 66,2%
Atsakymas
1 − β = 66,2%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9829
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 110,8
Determinacijos koeficientas
r² = −33²/(10·110,8) = 0,9829
Atsakymas
r² = 0,9829
Apie 98,29% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,305
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 464/6 = 77,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Regresijos tiesė
b = 114/17,5 = 6,514
a = 77,33 − 6,514·5,5 = 41,5
ŷ = 41,5 + 6,514·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 41,5 + 6,514·3,5 = 64,3
Liekana
e = 61 − 64,3 = −3,305
Atsakymas
e = −3,305
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.