Investuojate €2 000 esant 4,8 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 7 metų.
PV = €2 0004,8% / 4n = 7
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Po 17 metų norite turėti €20 000. Kiekvieno mėnesio pabaigoje atidedate tą pačią sumą į sąskaitą, kuri moka 3,6% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite mėnesio įnašą A.
FV = €20 0003,6% / 12N = 204
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 5 metų ji generuoja €10 000, o po to gali būti parduota už €5 000. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €50 000CF = €10 000S = €5 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €5 000, €7 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 7 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 8 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €713, kai pajamingumas iki išpirkimo 8%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 8P = €713YTM = 8%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 6%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 4YTM = 6%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €5 000 000, o skola – €1 000 000. Jos WACC 10,75%, skolos kaina prieš mokesčius 6%, o mokesčio tarifas 25%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų, kurių kaina €37,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €37 500 000. Ji ką tik išmokėjo €0,90 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 5% per metus. Jos skolos rinkos vertė €45 000 000, o kaina prieš mokesčius 5%. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Raskite rezultato 425 z įvertį z.
μ = 500σ = 75x = 425
z =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 3 raudoni ir 5 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
3 / 5
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €1. Laimite €3 su tikimybe 0,3 ir €20 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €1€3: p = 0,3€20: p = 0,05
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 454 ir 532 h? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 532
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 60 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 11,7. Kokia yra tų pačių duomenų 99 % intervalo paklaidos riba E₂?
95%n₁ = 100E₁ = 11,799%
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 11 sklypų, vidutinis derlius 47,5 kg, standartinis nuokrypis 2,5 kg. 2 sklypų grupė: 20 sklypų, vidurkis 56 kg, standartinis nuokrypis 8 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 113,8, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 113,8s = 12n = 36
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 5E = 299%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 2793 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
10 000·3,791 = 37 907,87
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
5 000/1,611 = 3 104,61
NPV
NPV = −50 000 + 37 907,87 + 3 104,61 = −€8 987,53
Atsakymas
NPV = −€8 987,53
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 12,32 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 330,58
NPV(15%) = −359,17
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 10 + 5·330,58/(330,58 − (−359,17)) = 12,4%
tiksliai: NPV(12,32%) = 0 → IRR = 12,32%
Atsakymas
IRR = 12,32%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 3,006 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,08)−8 = €540,27
Kuponas
C = (713 − 540,27)/5,747 = €30,06
Kupono norma
c = 30,06/1000 = 3,006%
Atsakymas
c = 3,006%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: D = 3,592 metai
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 80/1,06 = 75,47, t·PV = 75,47
t = 2: 80/1,124 = 71,20, t·PV = 142,40
t = 3: 80/1,191 = 67,17, t·PV = 201,51
t = 4: 1080/1,262 = 855,46, t·PV = 3 421,84
Trukmė
P = 1 069,30
D = 3 841,22/1 069,30 = 3,592
Atsakymas
D = 3,592 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 12 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC skolos dalis
0,1667·6%·(1 − 0,25) = 0,75%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (10,75% − 0,75%)/0,8333 = 12%
Atsakymas
re = 12%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,2 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Nuosavo kapitalo kaina
D1 = 0,9·1,05 = €0,95
re = 0,945/37,5 + 0,05 = 7,52%
Rinkos vertės
E = 2 000 000·€37,50 = €75 000 000
V = €120 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·7,52% + 0,375·5%·(1 − 0,2) = 6,2%
Atsakymas
WACC = 6,2%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,03
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (425 − 500)/75 = −1
Atsakymas
z = −1
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1071
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0,1071
Atsakymas
P = 0,1071
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,9 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 2 (p = 0,3), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)
Laukiamoji vertė
E(G) = 2·0,3 + 19·0,05 − 1·0,65 = 0,9 €
Atsakymas
E(G) = 0,9 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6631
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15
z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8
Plotas tarp
P = Φ(0,8) − Φ(−1,15) = 0,7881 − 0,1251 = 0,6631
Atsakymas
P = 0,6631
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 251,3 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,6
z iš lentelės
z ≈ 0,25
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g
Atsakymas
x = 251,3 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 15,38
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/100) = 1,314
Nauja paklaidos riba
E₂ = 11,7·1,314 = 15,38
Atsakymas
E₂ = 15,38
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 5,097 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (10·2,5² + 19·8²)/29 = 44,09
sp = 6,64
Paklaidos riba
E = 2,045·6,64·√(1/11 + 1/20) = 5,097
Atsakymas
E = 5,097 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 42
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·5/2)² = 41,47
Apvalinkite aukštyn
n = 42
Atsakymas
n = 42
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9736
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 281/6 = 46,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 584,8
Koreliacijos koeficientas
r = 98,5/√(17,5·584,8) = 0,9736
Atsakymas
r = 0,9736
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 26,55
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 120/5 = 24
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Regresijos tiesė
b = −17/10 = −1,7
a = 24 − (−1,7)·3 = 29,1
ŷ = 29,1 − 1,7·x
Prognozė
ŷ = 29,1 + (−1,7)·1,5 = 26,55
Atsakymas
ŷ = 26,55
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.