Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 16% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.
r = 16%m = 12
EAR = %
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€15 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 6 metus. Palūkanų norma – 2,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €15 0002,4% / 12N = 72
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €100 000. Kiekvienų metų pabaigoje 6 metų ji generuoja €20 500, o po to gali būti parduota už €10 000. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF = €20 500S = €10 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas A kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €5 500, €4 000, €2 500. Projektas B kainuoja €12 000 ir grąžina po €3 000, €5 000, €7 000. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 9 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 2%YTM = 5%n = 9
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija parduodama už €985, jos pajamingumas iki išpirkimo 3% (kasmetinis kapitalizavimas), o Macaulay trukmė 6,5 metų. Modifikuotąja trukme įvertinkite naują kainą P, jei pajamingumas padidėja 100 baziniais punktais.
P0 = €985y = 3%D = 6,5Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €10 000 000, o skola – €5 000 000. Jos WACC 9,92%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 25%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €6 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 13%. Jos skolą sudaro 5 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 7%, iki išpirkimo 7 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 027. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 178?
μ = 170σ = 20x = 178
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
σ =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3Y = 5X + 4
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 10 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 121,3 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10< 121.3 kg
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 100 telefonų, vidurkis 49 h, žinomas standartinis nuokrypis 13 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 46,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 18 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 25. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 25E = 495%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 103, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103s = 20n = 64
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
100 matavimų imties vidurkis – 501. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 501σ = 12n = 10095%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 15Σy = 121Σx² = 55Σy² = 2939Σxy = 355
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (2, 47). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(2, 47)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: EAR = 17,23 %
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laikotarpio norma
r/m = 0,16/12 = 0,01333
Kapitalizuokite per vienus metus
EAR = (1 + 0,01333)12 − 1 = 1,172 − 1 = 17,23%
Atsakymas
EAR = 17,23%
Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 223,9 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·6 = 72
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,866
A = 15 000·0,002/(1 − 0,866) = €223,90
Atsakymas
A = €223,90
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −5072 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 7 000 − 2 500 = 4 500
Skirtumo IRR
NPVΔ(9%) = 22,93
NPVΔ(10%) = −65,36
r* = 9,256%
Atsakymas
r* = 9,256%
Patikra: esant 9,256%, abi NPV lygios €301,94.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 784,7 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, i = 0,025, N = 18
Kuponų dabartinė vertė
€10,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €143,53
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,6412 = €641,17
Kaina
P = €784,70
Atsakymas
P = €784,70
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 922,8 €
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Modifikuotoji trukmė
Dmod = 6,5/1,03 = 6,311
Įvertintas kainos pokytis
%ΔP ≈ −6,311·(0,01) = −6,311%
P ≈ 985·(1 − 0,06311) = €922,84
Atsakymas
P = €922,84
Trukmė yra tiesinis įvertis; esant dideliems pajamingumo pokyčiams, dėl iškilumo tikroji kaina būna šiek tiek didesnė.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 13,01 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC skolos dalis
0,3333·5%·(1 − 0,25) = 1,25%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (9,92% − 1,25%)/0,6667 = 13,01%
Atsakymas
re = 13,01%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,232 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 0,8047
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Dispersija
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Atsakymas
σ = 0,8047
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 12,03
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,1, Var(X) = 5,79, σX = 2,406
Tiesinis pokytis
σY = |5|·2,406 = 12,03
Atsakymas
σY = 12,03
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·3,1 + 4 = 19,5.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,695
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 120 kg, σT = 0,8·√10 = 2,53 kg
Standartizuokite
z = (121,3 − 120)/2,53 = 0,51
Tikimybė
P = Φ(0,51) = 0,695
Atsakymas
P = 0,695
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9706
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
Atsakymas
P = 0,9706
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 9,427 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 49 − 46,5 = 2,5
Standartinė paklaida
SE = √(13²/100 + 18²/30) = 3,534
Paklaidos riba
E = 1,96·3,534 = 6,927
Intervalas
2,5 ± 6,927 → [−4,427, 9,427]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 9,427 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 151
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·25/4)² = 150,1
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 151
Atsakymas
n = 151
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,2
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 503,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,96·12/√100 = 2,352
Intervalo rėžis
U = 501 + 2,352 = 503,4
Atsakymas
U = 503,4
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,7698
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 355 − 15·121/5 = −8
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2939 − 121²/5 = 10,8
Koreliacijos koeficientas
r = −8/√(10·10,8) = −0,7698
Atsakymas
r = −0,7698
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 358/5 = 71,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288
Regresijos tiesė
b = 288/40 = 7,2
a = 71,6 − 7,2·5 = 35,6
ŷ = 35,6 + 7,2·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 35,6 + 7,2·2 = 50
Liekana
e = 47 − 50 = −3
Atsakymas
e = −3
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.