CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 25% per metus, palūkanas kapitalizuojant kasdien. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.

r = 25%m = 365

EAR = %

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€8 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metus. Palūkanų norma – 4,8 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €8 0004,8% / 12N = 36

A = €

3.NPV ir IRRVidutinis

Mašina šiandien kainuoja €30 000, tarnauja 8 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €3 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 6%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.

C₀ = €30 000M = €3 000n = 8r = 6%

EAC = €

4.NPV ir IRRSunkus

€80 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 3 metų grąžina €31 500. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.

C₀ = €80 000CF = €31 500n = 3

IRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 13 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 046, kai pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Raskite kupono normą c procentais.

F = €1 000n = 13P = €1 046YTM = 5,5%

c = %

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 13 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 8%), parduodama už €1 177. Emitentas gali ją išpirkti po 6 metų už €1 080 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.

F = €1 000kuponas = 8%P = €1 177išpirkimo kaina = €1 080išpirkimas po 6 metai

YTC = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Akcijos, kurios beta 1,4, reikalaujama grąža 10%. Nerizikinga norma 3%. Kokią laukiamą rinkos grąžą r_m implikuoja CAPM?

β = 1,4r_e = 10%r_f = 3%

r_m = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,4, įmonės akcijų beta 0,9. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 1. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 3%, o rinkos rizikos premija 4,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą r_e po pakeitimo.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 51, 43, 30, 37, 39, 58.

n = 6

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 66?

μ = 60σ = 15x = 66

P =

11.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 14 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 14k = 2

N =

12.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €10 su tikimybe 0,25 ir €20 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€10: p = 0,25€20: p = 0,02

E(G) = €

13.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė viršija 316 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 316 kg

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 4,3. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 50 stebėjimų?

95%n₁ = 25E₁ = 4,3n₂ = 50

E₂ =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?

σ = 10E = 0,595%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 43, standartinis nuokrypis 8,5. 2 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 34, standartinis nuokrypis 7,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 7x̄₁ = 43s₁ = 8,5n₂ = 7x̄₂ = 34s₂ = 7,5

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 28. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,05galia = 80%δ = 4σ = 28z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 138Σy = 779Σx² = 3244Σy² = 103511Σxy = 18316

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 26?

n = 6ŷ = 26

x =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: EAR = 28,39 %

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laikotarpio norma

r/m = 0,25/365 = 0,0006849

Kapitalizuokite per vienus metus

EAR = (1 + 0,0006849)³⁶⁵ − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%

Atsakymas

EAR = 28,39%

Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 239 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·3 = 36

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,8661

A = 8 000·0,004/(1 − 0,8661) = €239,05

Atsakymas

A = €239,05

3.NPV ir IRR

Atsakymas: EAC = 7831 €

Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.

Anuiteto koeficientas

(1 − 1,06⁻⁸)/0,06 = 6,21

Metinė pirkimo kainos dalis

30 000/6,21 = 4 831,08

EAC

EAC = 4 831,08 + 3 000 = €7 831,08

Atsakymas

EAC = €7 831,08

4.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 8,815 %

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Reikiamas anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 80 000/31 500 = 2,54

Raskite normą

Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.

i = 8%: 2,577

i = 9%: 2,531

IRR = 8,815%

Atsakymas

IRR = 8,815%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: c = 6,005 %

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Nominalios vertės dabartinė vertė

1000·(1 + 0,055)⁻¹³ = €498,56

Kuponas

C = (1046 − 498,56)/9,117 = €60,05

Kupono norma

c = 60,05/1000 = 6,005%

Atsakymas

c = 6,005%

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTC = 5,604 %

Pajamingumo lygtis

1177 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1080/(1 + y)⁶

Skaitinis sprendimas

y = 5%: €1 211,97

y = 6%: €1 154,74

YTC = 5,604%

Atsakymas

YTC = 5,604%

Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 6,001%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_m = 8 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Rinkos rizikos premija

r_m − r_f = (10% − 3%)/1,4 = 5%

Rinkos grąža

r_m = 3% + 5% = 8%

Atsakymas

r_m = 8%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_e = 8,509 %

Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), kur β_U – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.

Pašalinkite skolos poveikį beta

β_U = 0,9/(1 + 0,79·0,4) = 0,6839

Perskaičiuokite su nauju D/E

β_L = 0,6839·(1 + 0,79·1) = 1,224

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 3% + 1,224·4,5% = 8,509%

Atsakymas

r_e = 8,509%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,1

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 258/6 = 43

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 8² + 0² + (−13)² + (−6)² + (−4)² + 15² = 510

Standartinis nuokrypis

s = √(510/5) = 10,1

Atsakymas

s = 10,1

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3446

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Atsakymas

P = 0,3446

11.Tikimybė

Atsakymas: N = 91

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

Atsakymas

N = 91

12.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,9 €

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Grynosios baigtys

G: 8 (p = 0,25), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 8·0,25 + 18·0,02 − 2·0,73 = 0,9 €

Atsakymas

E(G) = 0,9 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

Standartizuokite

z = (316 − 340)/24 = −1

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7881

Skirtumo skirstinys

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartizuokite

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 3,041

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/50) = 0,7071

Nauja paklaidos riba

E₂ = 4,3·0,7071 = 3,041

Atsakymas

E₂ = 3,041

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1537

Išreikškite n

n = (1,96·10/0,5)² = 1537

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1537

Atsakymas

n = 1537

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,101

Hipotezių tikrinimas: testo statistika = (įvertis − reikšmė pagal H₀)/(standartinė paklaida pagal H₀). p reikšmė – tai tikimybė, darant prielaidą, kad H₀ teisinga, gauti statistiką, bent tokią pat kraštutinę kaip stebėtoji: vienos uodegos plotas vienpusei H₁, dvigubas uodegos plotas dvipusei H₁. H₀ atmetama, kai p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (6·8,5² + 6·7,5²)/12 = 64,25

s_p = 8,016

Standartinė paklaida

SE = 8,016·√(1/7 + 1/7) = 4,285

Testo statistika

t = (43 − 34)/4,285 = 2,101

Atsakymas

t = 2,101

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 304

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((1,645 + 0,842)·28/4)² = 303,1

Apvalinkite aukštyn

n = 304

Atsakymas

n = 304

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9794

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 18316 − 138·779/6 = 399

S_xx = 3244 − 138²/6 = 70

S_yy = 103511 − 779²/6 = 2371

Koreliacijos koeficientas

r = 399/√(70·2371) = 0,9794

Atsakymas

r = 0,9794

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 7,325

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 149/6 = 24,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 251

Regresijos tiesė

b = 251/70 = 3,586

a = 24,83 − 3,586·7 = −0,2667

ŷ = −0,2667 + 3,586·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (26 − (−0,2667))/3,586 = 7,325

Atsakymas

x = 7,325

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income