Investuojate €2 000 esant 4,8 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 6 metų.
PV = €2 0004,8% / 4n = 6
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metus. Palūkanų norma – 3,6 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €150 0003,6% / 12N = 240
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€45 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €22 000, €9 000, €16 000. Kapitalo kaina – 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
€50 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 5 metų grąžina €12 000. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €50 000CF = €12 000n = 5
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 9 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 6% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 7%YTM = 6%n = 9
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €910. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €6 000 000, o skola – €5 000 000. Jos WACC 8,36%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 20%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonė turi 4 000 000 akcijų po €57,50 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 050. Skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 21%. Akcijos beta koeficientas – 0,8, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 104,8?
μ = 100σ = 12x = 104,8
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,1, 0,1, 0,1
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1Y = 5X + 4
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 101,8 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101,8 s
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 30 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 8,4, o standartinis nuokrypis 4,2. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 20d̄ = 8,4sd = 4,295%t(19) = 2,093
apatinis rėžis = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 24. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?
σ = 24E = 599%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
49 studentų imties vidutinis rezultatas – 500,7, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500,7s = 4n = 49
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 97,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 97,6σ = 4n = 2590%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (10, 81). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(10, 81)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 2663 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·20 = 240
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,4873
A = 150 000·0,003/(1 − 0,4873) = €877,67
Atsakymas
A = €877,67
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −6794 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 22 000/1,12 = 19 642,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 9 000/1,254 = 7 174,74
CF3/(1 + 0,12)3 = 16 000/1,405 = 11 388,48
Sudėkite
NPV = €−6 793,91
Atsakymas
NPV = €−6 793,91
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 6,402 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−5)/i = 50 000/12 000 = 4,167
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 6%: 4,212
i = 7%: 4,1
IRR = 6,402%
Atsakymas
IRR = 6,402%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1069 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €35,00, i = 0,03, N = 18
Kuponų dabartinė vertė
€35,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €481,37
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5874 = €587,39
Kaina
P = €1 068,77
Atsakymas
P = €1 068,77
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 7,539 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Skaitinis sprendimas
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,539%
Atsakymas
YTM = 7,539%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 11,99 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC skolos dalis
0,4545·5%·(1 − 0,2) = 1,818%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (8,36% − 1,818%)/0,5455 = 11,99%
Atsakymas
re = 11,99%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,646 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Atsakymas
P = 0,6554
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,688
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,3, Var(X) = 3,71, σX = 1,926
Tiesinis pokytis
σY = |5|·1,926 = 9,631
Atsakymas
σY = 9,631
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·2,3 + 4 = 15,5.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6915
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartizuokite
z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Atsakymas
P = 0,6915
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 247,4 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,3
z iš lentelės
z ≈ −0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g
Atsakymas
x = 247,4 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 6,434 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 19, t = 2,093
Paklaidos riba
E = 2,093·4,2/√20 = 1,966
Intervalas
8,4 ± 1,966 → [6,434, 10,37]
Atsakymas
apatinis rėžis = 6,434 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 153
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·24/5)² = 152,9
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 153
Atsakymas
n = 153
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,225
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 98,92
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·4/√25 = 1,316
Intervalo rėžis
U = 97,6 + 1,316 = 98,92
Atsakymas
U = 98,92
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9797
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 176,8
Koreliacijos koeficientas
r = −54,5/√(17,5·176,8) = −0,9797
Atsakymas
r = −0,9797
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,633
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 449/6 = 74,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 343
Regresijos tiesė
b = 343/70 = 4,9
a = 74,83 − 4,9·8 = 35,63
ŷ = 35,63 + 4,9·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 35,63 + 4,9·10 = 84,63
Liekana
e = 81 − 84,63 = −3,633
Atsakymas
e = −3,633
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.