Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Užrašykite z = −2 − j6 rodikline forma r·e^jθ. Nurodykite θ radianais, tarp −π ir π.

z = −2 − j6

θ = rad

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Lygties zⁿ = w su n = 2 ir w = 4∠0° šaknys yra z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Raskite z₁ argumentą laipsniais, tarp −180° ir 180°.

w = 4∠0°n = 2k = 1

θ₁ = °

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 24 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

I = A

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 50 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą V_C ant kondensatoriaus.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 47 µF

V_C = V

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Induktyvioji apkrova iš 240 V (efektinė) vienfazio tinklo ima 2 A ir 336 W. Modeliuokite ją kaip varžą R, nuosekliai sujungtą su reaktyviąja varža X. Raskite X.

V = 240 VI = 2 AP = 336 W

X = Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 240 V, 60 Hz tinklo ima 17 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungiamas 150 µF kondensatorius. Raskite naują tinklo matomą galios koeficientą cos φ.

P = 17 kWpf₁ = 0,7V = 240 Vf = 60 HzC = 150 µF

cos φ =

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Lygiagrečiojo RLC grandinės R = 2,2 kΩ, L = 10 mH ir C = 220 nF. Raskite jos kokybės faktorių Q.

R = 2,2 kΩL = 10 mHC = 220 nF

Q =

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Rezonanso kreivės pusinės galios dažniai yra 20 kHz ir 30 kHz. Raskite rezonansinį dažnį kaip jų geometrinį vidurkį, o paskui kokybės faktorių Q.

f₁ = 20 kHzf₂ = 30 kHz

Q =

9.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trifazė apkrova ima 10 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 415 V. Galios koeficientas 0,85 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 415 VI_L = 10 Acos φ = 0,85

P = kW

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 120 kW, kai galios koeficientas 0,65 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W momentu t = 5 ms, mJ.

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms

W = mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Jungiklis, lygiagretus R₂, ilgai buvo atidarytas, todėl ritės srovė nusistovėjusi. Momentu t = 0 jungiklis užsidaro ir trumpai sujungia R₂. Raskite ritės srovę i momentu t = 5 ms.

V_s = 24 VR₁ = 22 ΩR₂ = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Tevenino varžą R_th, matomą iš gnybtų a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Prie a–b prijungta apkrova R_L = 10 Ω. Naudodami Tevenino ekvivalentą raskite apkrovai tiekiamą galią P_L.

V₁ = 36 VI_s = 3 AR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytas RC žemųjų dažnių filtras turi R = 10 kΩ, C = 100 nF. Taikoma sinusinė įvestis 480 Hz. Raskite stiprinimą |H| = |v_out/v_in| dB.

R = 10 kΩC = 100 nFf = 480 Hz

|H| = dB

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 216/(s(s + 4)(s + 8)). Raskite fazės kirtimo dažnį ω₁₈₀, kai ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 216/(s(s + 4)(s + 8))

ω₁₈₀ = rad/s

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: θ = −1,893 rad

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

Modulis

r = √(4 + 36) = 6,325

Argumentas radianais

θ = −108,4° = −108,4·π/180 = −1,893 rad

Rodiklinė forma

z = 6,325·e^−j1,893

Atsakymas

θ = −1,893 rad

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: θ₁ = 180 °

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Šaknų modulis

4^1/2 = 2

Šaknies argumentas

θ₁ = (0° + 360°·1)/2 = 180°

Argumentas

θ₁ = 180°

Atsakymas

θ₁ = 180°

2 šaknys išsidėsčiusios 2 spindulio apskritime, 180° atstumu viena nuo kitos.

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,2748 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (82,01)²) = 87,33 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 24/87,33 = 0,2748 A

Atsakymas

I = 0,2748 A

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_C = 89,94 V

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (18,96)²) = 31,38 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 50/31,38 = 1,594 A

Įtampa ant kondensatoriaus

V_C = I·X_C = 1,594·56,44 = 89,94 V

Atsakymas

V_C = 89,94 V

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: X = 85,7 Ω

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Varža iš aktyviosios galios

R = P/I² = 336/2² = 84 Ω

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

|Z| = V/I = 240/2 = 120 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(120² − 84²) = 85,7 Ω

Atsakymas

X = 85,7 Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: cos φ = 0,77

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = 17·tan(arccos 0,7) = 17,34 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·150·10⁻⁶ = 3257 var = 3,257 kvar

Q₂ = 17,34 − 3,257 = 14,09 kvar

Nauja pilnutinė galia

S₂ = √(17² + 14,09²) = 22,08 kVA

Naujas galios koeficientas

cos φ = P/S₂ = 17/22,08 = 0,77

Atsakymas

cos φ = 0,77

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 10,32

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Rezonansinis dažnis

ω₀ = 1/√(LC) = 21320 rad/s

Kokybės faktorius

Q = R/(ω₀L) = 2200/(21320·0,01) = 10,32

Atsakymas

Q = 10,32

Juostos plotis yra 1/(2πRC) = 328,8 Hz.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 2,449

Rezonansinis dažnis

f₀ = √(20000·30000) = 24495 Hz

Juostos plotis

BW = 30000 − 20000 = 10000 Hz

Kokybės faktorius

Q = 24495/10000 = 2,449

Atsakymas

Q = 2,449

9.Trifazė galia

Atsakymas: P = 6,11 kW

Pilnutinė galia

S = √3·V_L·I_L = √3·415·10 = 7,188 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 7,188·0,85 = 6,11 kW

Atsakymas

P = 6,11 kW

10.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 549,4 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 82,18 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 27392/(314,2·398,4²) = 549,4 µF

Atsakymas

C_ph = 549,4 µF

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W = 4,414 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0,3636 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = 0,3636·(1 − e^−5/4,545) = 0,2426 A

Sukaupta energija

W = ½·L·i² = ½·150·0,2426² = 4,414 mJ

Atsakymas

W = 4,414 mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: i = 1,058 A

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Iki t = 0 kontūre yra abu rezistoriai; po to uždarytas jungiklis apeina R₂.

i(0) = 24/(22 + 10) = 0,75 A

i(∞) = 24/22 = 1,091 A

τ = L/R = 47/22 = 2,136 ms

i(t) = 1,091 + (0,75 − 1,091)·e^−t/τ

Srovė duotuoju momentu

i(5) = 1,091 + (−0,3409)·e^−5/2,136 = 1,058 A

Atsakymas

i = 1,058 A

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: R_th = 10,67 Ω

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·20/(10+20) = 6,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,667 + 4 = 10,67 Ω

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: P_L = 22,02 W

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,308 + 2 = 4,308 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,308 + 3·2,308 = 15,23 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 15,23 + 3·2 = 21,23 V

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Tevenino šaltinis ir nuoseklus R_th gnybtuose a–b elgiasi lygiai kaip pradinė grandinė, todėl apkrova mato paprastą nuoseklų kontūrą.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 21,23/(4,308 + 10) = 1,484 A

P_L = I_L²·R_L = 1,484²·10 = 22,02 W

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: |H| = −10,04 dB

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Lūžio dažnis

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁷) = 1000 rad/s

f_c = 159,2 Hz → f/f_c = 480/159,2 = 3,016

Stiprinimas

|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 0,3147

20·log₁₀(0,3147) = −10,04 dB

Atsakymas

|H| = −10,04 dB

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: ω₁₈₀ = 5,657 rad/s

Fazės kirtimas

(ω/4)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·8) = 5,657 rad/s

Atsakymas

ω₁₈₀ = 5,657 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

Modulis

Argumentas radianais

Rodiklinė forma

Atsakymas

Šaknų modulis

Šaknies argumentas

Argumentas

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Srovė

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Srovė

Įtampa ant kondensatoriaus

Atsakymas

Varža iš aktyviosios galios

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Nauja pilnutinė galia

Naujas galios koeficientas

Atsakymas

Rezonansinis dažnis

Kokybės faktorius

Atsakymas

Rezonansinis dažnis

Juostos plotis

Kokybės faktorius

Atsakymas

Pilnutinė galia

Aktyvioji galia

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Vienos fazės talpa

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Srovė duotuoju momentu

Sukaupta energija

Atsakymas

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Srovė duotuoju momentu

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Lūžio dažnis

Stiprinimas

Atsakymas

Fazės kirtimas

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą