Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Kai z₁ = 3∠100° ir z₂ = 1,5∠110°, raskite w = z₁/z₂ realiąją dalį.

z₁ = 3∠100°z₂ = 1,5∠110°

Re(w) =

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Naudodami Muavro teoremą, raskite z⁴ realiąją dalį, kai z = 2 + j2.

z = 2 + j2n = 4

Re(z⁴) =

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė, kurios C = 1 µF, turi rezonuoti esant 100 Hz. Raskite reikiamą induktyvumą L.

f₀ = 100 HzC = 1 µF

L = mH

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 24 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 50 ΩC = 47 µF

I = A

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Dvi apkrovos lygiagrečiai prijungtos prie 240 V vienfazio tinklo: 11 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,75 (induktyvus), ir 16 kW šildytuvas (galios koeficientas lygus vienetui). Raskite bendrą iš tinklo imamą srovę I.

V = 240 VP₁ = 11 kW, pf₁ = 0,75 induktyvusP₂ = 16 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 400 V, 60 Hz tinklo ima 19 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungiamas 33 µF kondensatorius. Raskite naują tinklo matomą galios koeficientą cos φ.

P = 19 kWpf₁ = 0,75V = 400 Vf = 60 HzC = 33 µF

cos φ =

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Nuosekliojo RLC grandinės R = 5 Ω, L = 2,2 mH ir C = 2,2 µF. Raskite jos juostos plotį BW vienetais Hz.

R = 5 ΩL = 2,2 mHC = 2,2 µF

BW = Hz

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Nuosekliajame rezonansiniame kontūre naudojama 47 µH induktyvumo ritė. Kokia bendra nuoseklioji varža R duoda 500 Hz juostos plotį?

L = 47 µHBW = 500 Hz

R = Ω

9.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 55 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 90%, o galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 400 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 55 kWη = 90%cos φ = 0,9V_L = 400 V

I_L = A

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 60 kW, kai galios koeficientas 0,78 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W(∞), kai grandinė nusistovi, mJ.

V_s = 20 VR = 10 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Jungiklis, lygiagretus R₂, ilgai buvo atidarytas, todėl ritės srovė nusistovėjusi. Momentu t = 0 jungiklis užsidaro ir trumpai sujungia R₂. Po kiek laiko nuo t = 0 ritės srovė pasiekia 0,677 A? Raskite t.

V_s = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 33 ΩL = 100 mH

t = ms

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Tevenino varžą R_th, matomą iš gnybtų a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 Ω

I_N = A

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Raskite G(s) = 476/((s + 14)(s + 17)) tikslų modulį |G(jω)|, kai ω = 2 rad/s, dB.

G(s) = 476/((s + 14)(s + 17))ω = 2 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 28/(s(s + 1)(s + 10)). Raskite stiprinimo atsargą GM dB.

L(s) = 28/(s(s + 1)(s + 10))

GM = dB

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: Re(w) = 1,97

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

w modulis ir argumentas

|w| = 3 / 1,5 = 2

θ = 100° − 110° = −10°

Algebrinė forma

Re(w) = 2·cos(−10°) = 1,97

Im(w) = 2·sin(−10°) = −0,3473

Re(w) = 1,97

Atsakymas

Re(w) = 1,97

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: Re(z⁴) = −64

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Polinė forma

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

Muavras

z⁴ = (2√2)⁴∠180° = 64∠180°

Algebrinė forma

z⁴ = 64·(cos 180° + j sin 180°) = −64

Re(z⁴) = −64

Atsakymas

Re(z⁴) = −64

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: L = 2533 mH

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·1·10⁻⁶) = 2533 mH

Atsakymas

L = 2533 mH

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,5633 A

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 15,72 − j23,21 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 20 + 15,72 − j23,21 = 35,72 − j23,21 Ω

|Z| = √(35,72² + 23,21²) = 42,6 Ω

Srovė

I = V/|Z| = 24/42,6 = 0,5633 A

Atsakymas

I = 0,5633 A

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 119,5 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Induktyvioji apkrova reaktyviąją galią ima (Q > 0); talpinė ją tiekia (Q < 0).

Q₁ = 11·tan(arccos 0,75) = 9,701 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Sumos

P = 11 + 16 = 27 kW

Q = 9,701 + 0 = 9,701 kvar

S = √(27² + 9,701²) = 28,69 kVA

Bendra srovė

I = S/V = 28690/240 = 119,5 A

Atsakymas

I = 119,5 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: cos φ = 0,7896

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = 19·tan(arccos 0,75) = 16,76 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·33·10⁻⁶ = 1991 var = 1,991 kvar

Q₂ = 16,76 − 1,991 = 14,77 kvar

Nauja pilnutinė galia

S₂ = √(19² + 14,77²) = 24,06 kVA

Naujas galios koeficientas

cos φ = P/S₂ = 19/24,06 = 0,7896

Atsakymas

cos φ = 0,7896

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: BW = 361,7 Hz

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Juostos plotis rad/s

R/L = 5/0,0022 = 2273 rad/s

Juostos plotis Hz

BW = 2273/(2π) = 361,7 Hz = 361,7 Hz

Atsakymas

BW = 361,7 Hz

Kai f₀ = 2,288 kHz, gaunama Q = 6,325.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: R = 0,1477 Ω

Nuosekliojo kontūro juostos plotis

BW = R/(2πL)

Varža

R = 2π·4,7 × 10⁻⁵·500 = 0,1477 Ω

Atsakymas

R = 0,1477 Ω

9.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 98,01 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 55/0,9 = 61,11 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 61111/(√3·400·0,9) = 98,01 A

Atsakymas

I_L = 98,01 A

10.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 127,5 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,9) = 60·0,4843 = 29,06 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19,08 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 6359/(314,2·398,4²) = 127,5 µF

Atsakymas

C_ph = 127,5 µF

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W(∞) = 300 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 20/10 = 2 A

Sukaupta energija

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·2² = 300 mJ

Atsakymas

W(∞) = 300 mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 1,784 ms

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Iki t = 0 kontūre yra abu rezistoriai; po to uždarytas jungiklis apeina R₂.

i(0) = 24/(20 + 33) = 0,4528 A

i(∞) = 24/20 = 1,2 A

τ = L/R = 100/20 = 5 ms

i(t) = 1,2 + (0,4528 − 1,2)·e^−t/τ

Išreiškite laiką

e^−t/τ = (0,677 − 1,2)/(0,4528 − 1,2) = 0,7

t = 5·ln(1,429) = 1,784 ms

Atsakymas

t = 1,784 ms

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: R_th = 4 Ω

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 2 = 4 Ω

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = 5,054 A

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 25 = 28 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,5 + 5·3 = 16,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16,5 + 5·25 = 141,5 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = 141,5/28 = 5,054 A

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: |G(jω)| = 5,873 dB

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Sudauginkite modulius

|G(j2)| = 476/(√(2² + 14²)·√(2² + 17²)) = 476/(14,14·17,12) = 1,966

Rezultatas

20·log₁₀(1,966) = 5,873 dB

Atsakymas

|G(jω)| = 5,873 dB

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: GM = 11,88 dB

Fazės kirtimas

(ω/1)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·10) = 3,162 rad/s

Modulis ties fazės kirtimu

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 100)) = K/(1·10·(1 + 10)) = K/110

Stiprinimo atsarga

GM = 20·log₁₀(110/28) = 11,88 dB

Atsakymas

GM = 11,88 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

w modulis ir argumentas

Algebrinė forma

Atsakymas

Polinė forma

Muavras

Algebrinė forma

Atsakymas

Rezonanso sąlyga

Atsakymas

Reaktyvioji varža

Lygiagretus junginys

Bendra pilnutinė varža

Srovė

Atsakymas

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Sumos

Bendra srovė

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Nauja pilnutinė galia

Naujas galios koeficientas

Atsakymas

Juostos plotis rad/s

Juostos plotis Hz

Atsakymas

Nuosekliojo kontūro juostos plotis

Varža

Atsakymas

Naudojama elektrinė galia

Linijos srovė

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Vienos fazės talpa

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Sukaupta energija

Atsakymas

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Išreiškite laiką

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Sudauginkite modulius

Rezultatas

Atsakymas

Fazės kirtimas

Modulis ties fazės kirtimu

Stiprinimo atsarga

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą