Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Kai z₁ = 2,5∠−35° ir z₂ = 0,5∠80°, raskite w = z₁/z₂ realiąją dalį.

z₁ = 2,5∠−35°z₂ = 0,5∠80°

Re(w) =

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Lygiai vienas iš taškų A–D yra lygties z⁴ = 81∠−90° šaknis. Spustelėkite jį.

w = 81∠−90°n = 4

1A (3∠−22,5°)
2B (3∠22,5°)
3C (5,4∠22,5°)
4D (3∠−90°)

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 24 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 10 µF

φ = °

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą V_C ant kondensatoriaus.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

V_C = V

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 230 V tinklo ima 29 kW, kai galios koeficientas 0,85 (induktyvus). Raskite linijos srovę I.

P = 29 kWpf = 0,85V = 230 V

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

50 V (efektinė), 60 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Z_s = 8 + j30 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą Z_L galima pasirinkti laisvai. Raskite didžiausią aktyviąją galią P_max, kurią galima perduoti apkrovai.

V_s = 50 V (rms)f = 60 HzZ_s = 8 + j30 Ω

P_max = W

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Lygiagrečiojo RLC grandinės R = 1 kΩ, L = 47 µH ir C = 10 nF. Raskite jos kokybės faktorių Q.

R = 1 kΩL = 47 µHC = 10 nF

Q =

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Nuosekliojo RLC grandinė (R = 22 Ω, L = 1 mH, C = 47 nF) rezonanso metu maitinama 100 mA srovės amplitude. Raskite per vieną ciklą R išsiskiriančią energiją E_cycle vienetais µJ.

R = 22 ΩL = 1 mHC = 47 nFI_m = 100 mA

E_cycle = µJ

9.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė žvaigžde sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 16 + j12 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 480 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 480 VZ = 16 + j12 Ω vienai fazei

P = kW

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 75 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite įtampą v_L ant ritės momentu t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 2 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko v_C pasieks 4,4 V? Raskite t.

V_s = 6 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Prie a–b prijungta apkrova R_L = 15 Ω. Naudodami Tevenino ekvivalentą raskite apkrovai tiekiamą galią P_L.

V₁ = 36 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytame nuosekliajame RLC juostiniame filtre išėjimas imamas ant R = 10 Ω, kai L = 10 mH ir C = 0,47 µF. Raskite −3 dB juostos plotį BW Hz.

R = 10 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

BW = Hz

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 32/(s(s + 4)). Raskite fazės atsargą PM laipsniais.

L(s) = 32/(s(s + 4))

PM = °

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: Re(w) = −2,113

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

w modulis ir argumentas

|w| = 2,5 / 0,5 = 5

θ = −35° − 80° = −115°

Algebrinė forma

Re(w) = 5·cos(−115°) = −2,113

Im(w) = 5·sin(−115°) = −4,532

Re(w) = −2,113

Atsakymas

Re(w) = −2,113

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: A (3∠−22,5°)

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Šaknų modulis ir argumentai

|z| = 3

θ = −22,5°, 67,5°, 157,5°, −112,5°

Taškas

A = 3∠−22,5°

Atsakymas

A (3∠−22,5°)

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: φ = 85,45 °

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (753,6)²) = 756 Ω

Fazės kampas

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(753,6/60) = 85,45°

Atsakymas

φ = 85,45°

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_C = 5,256 V

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (326,6)²) = 330,4 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 12/330,4 = 0,03632 A

Įtampa ant kondensatoriaus

V_C = I·X_C = 0,03632·144,7 = 5,256 V

Atsakymas

V_C = 5,256 V

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 148,3 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Linijos srovė

Darbą atlieka tik aktyvioji galios dalis, todėl dalykite iš galios koeficiento.

I = P/(V·cos φ) = 29000/(230·0,85) = 148,3 A

Atsakymas

I = 148,3 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: P_max = 78,13 W

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

Z_L = Z_s* = 8 − j30 Ω

Didžiausia galia

I = V_s/(2R_s) = 50/16 = 3,125 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 50²/(4·8) = 78,13 W

Atsakymas

P_max = 78,13 W

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 14,59

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Rezonansinis dažnis

ω₀ = 1/√(LC) = 1,459 × 10⁶ rad/s

Kokybės faktorius

Q = R/(ω₀L) = 1000/(1,459 × 10⁶·4,7 × 10⁻⁵) = 14,59

Atsakymas

Q = 14,59

Juostos plotis yra 1/(2πRC) = 15,92 kHz.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: E_cycle = 4,738 µJ

Sukaupta energija

W = ½·0,001·0,1² = 5 × 10⁻⁶ J

Kokybės faktorius

Q = (1/22)·√(0,001/4,7 × 10⁻⁸) = 6,63

Per ciklą prarasta energija

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·5 × 10⁻⁶/6,63 = 4,738 × 10⁻⁶ J = 4,738 µJ

patikra: ½·0,1²·22/23215 = 4,738 × 10⁻⁶ J

Atsakymas

E_cycle = 4,738 µJ

9.Trifazė galia

Atsakymas: P = 9,216 kW

Fazinė įtampa

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

Fazinė srovė

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 277,1/20 = 13,86 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·13,86²·16 = 9,216 kW

Atsakymas

P = 9,216 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,8, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

10.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 199,4 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,75) = 75·0,8819 = 66,14 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29,82 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9940/(314,2·398,4²) = 199,4 µF

Atsakymas

C_ph = 199,4 µF

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: v_L = 3,034 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0,4 A

Ritės įtampa

Momentu t = 0 visa maitinimo įtampa yra ant ritės; vėliau ji slopsta iki nulio.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/1,467 = 3,034 V

Atsakymas

v_L = 3,034 V

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 137,1 ms

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 6 + (2 − 6)·e^−t/τ

Išreiškite laiką

4,4 = 6 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4,4 − 6)/(2 − 6) = 0,4

t = τ·ln((2 − 6)/(4,4 − 6)) = 149,6·ln(2,5) = 137,1 ms

Atsakymas

t = 137,1 ms

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = 0,3797 A

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,875 + 8 = 9,875 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, per R₃ srovė neteka, todėl ant jo nėra įtampos kritimo ir V_b = V_A. R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·5/(3+5) = 3,75 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = 3,75/9,875 = 0,3797 A

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: P_L = 139,1 W

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 10 = 16 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 14,4 + 5·6 = 44,4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 44,4 + 5·10 = 94,4 V

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Tevenino šaltinis ir nuoseklus R_th gnybtuose a–b elgiasi lygiai kaip pradinė grandinė, todėl apkrova mato paprastą nuoseklų kontūrą.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 94,4/(16 + 15) = 3,045 A

P_L = I_L²·R_L = 3,045²·15 = 139,1 W

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: BW = 159,2 Hz

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Rezonansinis dažnis

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·4,7 × 10⁻⁷) = 14586 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2322 Hz

Juostos plotis

BW = R/L = 10/0,01 = 1000 rad/s = 159,2 Hz

Atsakymas

BW = 159,2 Hz

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: PM = 38,67 °

Stiprinimo kirtimas

ω⁴ + 16ω² − 1024 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·1024))/2 = 24,98

ω_c = 4,998 rad/s

Fazės atsarga

∠L(jω_c) = −90° − atan(4,998/4) = −141,3°

PM = 180° + ∠L = 38,67°

Atsakymas

PM = 38,67°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

w modulis ir argumentas

Algebrinė forma

Atsakymas

Šaknų modulis ir argumentai

Taškas

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Fazės kampas

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Srovė

Įtampa ant kondensatoriaus

Atsakymas

Linijos srovė

Atsakymas

Jungtinis suderinimas

Didžiausia galia

Atsakymas

Rezonansinis dažnis

Kokybės faktorius

Atsakymas

Sukaupta energija

Kokybės faktorius

Per ciklą prarasta energija

Atsakymas

Fazinė įtampa

Fazinė srovė

Bendra aktyvioji galia

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Vienos fazės talpa

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ritės įtampa

Atsakymas

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Išreiškite laiką

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Rezonansinis dažnis

Juostos plotis

Atsakymas

Stiprinimo kirtimas

Fazės atsarga

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą