Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Raskite z = −8 − j7 argumentą θ laipsniais, kaip pagrindinę reikšmę tarp −180° ir 180°.

z = −8 − j7

θ = °

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Lygties zⁿ = w su n = 6 ir w = 729∠90° šaknys yra z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 5. Raskite z₅ realiąją dalį.

w = 729∠90°n = 6k = 5

Re(z₅) =

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 24 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 12 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite grandinės rezonansinį dažnį f₀.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 230 V tinklo ima 29 kW, kai galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Raskite jo naudojamą reaktyviąją galią Q.

P = 29 kWpf = 0,8V = 230 V

Q = kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

24 V (efektinė), 1000 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Z_s = 5 + j5 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą Z_L galima pasirinkti laisvai. Didžiausios galios apkrova sudaroma iš rezistoriaus, nuosekliai sujungto su kondensatoriumi. Raskite talpą C.

V_s = 24 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 5 + j5 Ω

C = µF

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Nuosekliojo RLC grandinės R = 2 Ω, L = 100 µH ir C = 470 pF. Raskite jos kokybės faktorių Q.

R = 2 ΩL = 100 µHC = 470 pF

Q =

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Įkrautas 4,7 nF kondensatorius išsikrauna per 100 µH ritę, kurios bendra nuoseklioji varža 1 Ω, todėl virpesiai pamažu slopsta. Jų amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L). Kiek virpesių ciklų n praeina, kol amplitudė sumažėja perpus? (Nuostoliai maži, todėl dažnis yra f₀.)

L = 100 µHC = 4,7 nFR = 1 Ω

n =

9.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trifazė apkrova ima 10 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 400 V. Galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 400 VI_L = 10 Acos φ = 0,75

P = kW

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 400 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 300 kW, kai galios koeficientas 0,78 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti trikampiu. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W momentu t = 5 ms, mJ.

V_s = 20 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

W = mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 6 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko v_C pasieks 8,4 V? Raskite t.

V_s = 10 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Tevenino įtampą V_th, matomą iš gnybtų a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 30 VI_s = 2 AR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytame nuosekliajame RLC juostiniame filtre išėjimas imamas ant R = 5 Ω, kai L = 1 mH ir C = 1 µF. Raskite kokybės faktorių Q.

R = 5 ΩL = 1 mHC = 1 µF

Q =

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = K/(s(s + 7)(s + 10)). Raskite stiprinimą K, duodantį 3 dB stiprinimo atsargą.

L(s) = K/(s(s + 7)(s + 10))GM = 3 dB

K =

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: θ = −138,8 °

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

Ketvirtis

a = −8, b = −7 → III

Atskaitos kampas

α = atan(7/8) = 41,19°

Argumentas

θ = −(180° − α) = −138,8°

Atsakymas

θ = −138,8°

Polinė forma z = 10,63∠−138,8°.

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: Re(z₅) = 2,121

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Šaknų modulis

729^1/6 = 3

Šaknies argumentas

θ₅ = (90° + 360°·5)/6 = 315° → −45°

Algebrinė forma

z₅ = 3·(cos −45° + j sin −45°) = 2,121 − j2,121

Re(z₅) = 2,121

Atsakymas

Re(z₅) = 2,121

6 šaknys išsidėsčiusios 3 spindulio apskritime, 60° atstumu viena nuo kitos.

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,5892 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−7,676)²) = 40,73 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 24/40,73 = 0,5892 A

Atsakymas

I = 0,5892 A

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: f₀ = 410,9 Hz

Rezonansas

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC). Maitinimo dažnis nesvarbus.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·1·10⁻⁶)) = 410,9 Hz

Atsakymas

f₀ = 410,9 Hz

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Q = 21,75 kvar

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kampas

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Reaktyvioji galia

Q = P·tan φ = 29·0,75 = 21,75 kvar

Atsakymas

Q = 21,75 kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: C = 31,83 µF

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

Z_L = Z_s* = 5 − j5 Ω

Talpa

X_C = 5 Ω → C = 1/(2π·1000·5) = 31,83 µF

Atsakymas

C = 31,83 µF

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 230,6

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Būdingoji varža

√(L/C) = √(1 × 10⁻⁴/4,7 × 10⁻¹⁰) = 461,3 Ω

Kokybės faktorius

Q = 461,3/2 = 230,6

Atsakymas

Q = 230,6

Rezonansinis dažnis yra 734,1 kHz, todėl BW = f₀/Q = 3,183 kHz.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: n = 32,18

Amplitudės pusėjimo trukmė

t = 2·1 × 10⁻⁴·ln 2/1 = 0,0001386 s

Ciklų skaičius

n = t·f₀ = 0,0001386·232151 = 32,18

Atsakymas

n = 32,18

Trumpesnis kelias: n = Q·ln 2/π, kai Q = 145,9.

9.Trifazė galia

Atsakymas: P = 5,196 kW

Pilnutinė galia

S = √3·V_L·I_L = √3·400·10 = 6,928 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 6,928·0,75 = 5,196 kW

Atsakymas

P = 5,196 kW

10.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 632,6 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,78) = 300·0,8023 = 240,7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 95,39 kvar

Vienos fazės talpa

Trikampiu sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp dviejų linijų.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 31796/(314,2·400²) = 632,6 µF

Atsakymas

C_ph = 632,6 µF

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W = 10,38 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 20/33 = 0,6061 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = 0,6061·(1 − e^−5/2,061) = 0,5525 A

Sukaupta energija

W = ½·L·i² = ½·68·0,5525² = 10,38 mJ

Atsakymas

W = 10,38 mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 137,1 ms

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 10 + (6 − 10)·e^−t/τ

Išreiškite laiką

8,4 = 10 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,4 − 10)/(6 − 10) = 0,4

t = τ·ln((6 − 10)/(8,4 − 10)) = 149,6·ln(2,5) = 137,1 ms

Atsakymas

t = 137,1 ms

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: V_th = 8,571 V

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2,857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,857 + 5 = 7,857 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, per R₃ srovė neteka, todėl ant jo nėra įtampos kritimo ir V_b = V_A. R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·4/(10+4) = 8,571 V

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = 2,444 A

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 30·20/(30+20) = 12 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 12 + 15 = 27 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 2·12 = 36 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 36 + 2·15 = 66 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = 66/27 = 2,444 A

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: Q = 6,325

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Rezonansinis dažnis

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,001·1 × 10⁻⁶) = 31623 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 5033 Hz

Kokybės faktorius

BW = R/L = 5/0,001 = 5000 rad/s = 795,8 Hz

Q = ω₀/BW = 31623/5000 = 6,325

Atsakymas

Q = 6,325

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: K = 842,5

Fazės kirtimas

(ω/7)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(7·10) = 8,367 rad/s

Modulis ties fazės kirtimu

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 49)·√(ω² + 100)) = K/(7·10·(7 + 10)) = K/1190

Reikalingas stiprinimas

1190/K = 10^3/20 = 1,413

K = 1190/1,413 = 842,5

Atsakymas

K = 842,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

Ketvirtis

Atskaitos kampas

Argumentas

Atsakymas

Šaknų modulis

Šaknies argumentas

Algebrinė forma

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Srovė

Atsakymas

Rezonansas

Atsakymas

Kampas

Reaktyvioji galia

Atsakymas

Jungtinis suderinimas

Talpa

Atsakymas

Būdingoji varža

Kokybės faktorius

Atsakymas

Amplitudės pusėjimo trukmė

Ciklų skaičius

Atsakymas

Pilnutinė galia

Aktyvioji galia

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Vienos fazės talpa

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Srovė duotuoju momentu

Sukaupta energija

Atsakymas

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Išreiškite laiką

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Rezonansinis dažnis

Kokybės faktorius

Atsakymas

Fazės kirtimas

Modulis ties fazės kirtimu

Reikalingas stiprinimas

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą