Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Raskite z = −7 + j6 argumentą θ laipsniais, kaip pagrindinę reikšmę tarp −180° ir 180°.

z = −7 + j6

θ = °

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Viena lygties z³ − 9z² + 43z − 75 = 0 šaknis yra z₁ = 3 + j4. Koeficientai realieji. Raskite realiąją šaknį r.

z₁ = 3 + j4

r =

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 100 V (efektinė), 500 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF

φ = °

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 230 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite efektinę įtampą V_C ant kondensatoriaus.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 47 µF

V_C = V

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 400 V tinklo ima 33 kW, kai galios koeficientas 0,9 (induktyvus). Raskite linijos srovę I.

P = 33 kWpf = 0,9V = 400 V

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

200 kVA vienfazis transformatorius maitina 37 kW apkrovą, kurios galios koeficientas 0,6 (induktyvus). Kiek papildomos aktyviosios galios ΔP galima pridėti kaip aktyviąją (galios koeficientas lygus vienetui) apkrovą, kol transformatorius pasieks savo vardinę kVA galią?

S_max = 200 kVAP₁ = 37 kWpf₁ = 0,6

ΔP = kW

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Nuosekliojo RLC grandinės R = 22 Ω, L = 22 mH ir C = 2,2 nF. Raskite jos kokybės faktorių Q.

R = 22 ΩL = 22 mHC = 2,2 nF

Q =

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Nuosekliojo RLC grandinė (R = 10 Ω, L = 2,2 mH, C = 2,2 µF) rezonanso metu maitinama 200 mA srovės amplitude. Raskite per vieną ciklą R išsiskiriančią energiją E_cycle vienetais µJ.

R = 10 ΩL = 2,2 mHC = 2,2 µFI_m = 200 mA

E_cycle = µJ

9.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trifazė apkrova ima 100 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 208 V. Galios koeficientas 0,82 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 208 VI_L = 100 Acos φ = 0,82

P = kW

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 150 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,98 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite įtampą v_L ant ritės momentu t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 18 V su pažymėtu poliškumu. Per kiek laiko v_C pasieks 8,4 V? Raskite t.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Tevenino varžą R_th, matomą iš gnybtų a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 5 VI_s = 3 AR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytas RC aukštųjų dažnių filtras turi R = 22 kΩ, C = 22 nF. Taikoma sinusinė įvestis 66 Hz. Raskite v_out fazės poslinkį φ v_in atžvilgiu laipsniais.

R = 22 kΩC = 22 nFf = 66 Hz

φ = °

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9)). Raskite stiprinimą K, duodantį 12 dB stiprinimo atsargą.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9))GM = 12 dB

K =

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: θ = 139,4 °

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

Ketvirtis

a = −7, b = 6 → II

Atskaitos kampas

α = atan(6/7) = 40,6°

Argumentas

θ = 180° − α = 139,4°

Atsakymas

θ = 139,4°

Polinė forma z = 9,22∠139,4°.

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: r = 3

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Jungtinė pora

z₂ = 3 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 4²) = z² − 6z + 25

Išskirkite kvadratinį dauginamąjį

z³ − 9z² + 43z − 75 = (z² − 6z + 25)(z − 3)

Realioji šaknis

r = 3

Atsakymas

r = 3

Patikrinkite pagal šaknų sumą: z₁ + z₂ + r = 6 + 3 = 9 = −(−9).

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: φ = 72,12 °

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (310)²) = 325,7 Ω

Fazės kampas

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(310/100) = 72,12°

Atsakymas

φ = 72,12°

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_C = 121,4 V

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (37,81)²) = 106,9 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 230/106,9 = 2,151 A

Įtampa ant kondensatoriaus

V_C = I·X_C = 2,151·56,44 = 121,4 V

Atsakymas

V_C = 121,4 V

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 91,67 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Linijos srovė

Darbą atlieka tik aktyvioji galios dalis, todėl dalykite iš galios koeficiento.

I = P/(V·cos φ) = 33000/(400·0,9) = 91,67 A

Atsakymas

I = 91,67 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: ΔP = 156,8 kW

Esamos apkrovos reaktyvioji galia

Q₁ = 37·tan(arccos 0,6) = 49,33 kvar

Didžiausia bendra aktyvioji galia

Esant vardinei galiai S = S_max, o aktyvioji apkrova Q nekeičia.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 49,33²) = 193,8 kW

Papildoma aktyvioji galia

ΔP = 193,8 − 37 = 156,8 kW

Atsakymas

ΔP = 156,8 kW

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 143,7

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Būdingoji varža

√(L/C) = √(0,022/2,2 × 10⁻⁹) = 3162 Ω

Kokybės faktorius

Q = 3162/22 = 143,7

Atsakymas

Q = 143,7

Rezonansinis dažnis yra 22,88 kHz, todėl BW = f₀/Q = 159,2 Hz.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: E_cycle = 87,42 µJ

Sukaupta energija

W = ½·0,0022·0,2² = 4,4 × 10⁻⁵ J

Kokybės faktorius

Q = (1/10)·√(0,0022/2,2 × 10⁻⁶) = 3,162

Per ciklą prarasta energija

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·4,4 × 10⁻⁵/3,162 = 8,742 × 10⁻⁵ J = 87,42 µJ

patikra: ½·0,2²·10/2288 = 8,742 × 10⁻⁵ J

Atsakymas

E_cycle = 87,42 µJ

9.Trifazė galia

Atsakymas: P = 29,54 kW

Pilnutinė galia

S = √3·V_L·I_L = √3·208·100 = 36,03 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 36,03·0,82 = 29,54 kW

Atsakymas

P = 29,54 kW

10.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 122,6 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,7) = 150·1,02 = 153 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,98) = 150·0,2031 = 30,46 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 122,6 kvar

Atsakymas

Q_C = 122,6 kvar

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: v_L = 0,2898 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

i(∞) = V_s/R = 6/100 = 0,06 A

Ritės įtampa

Momentu t = 0 visa maitinimo įtampa yra ant ritės; vėliau ji slopsta iki nulio.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/0,33 = 0,2898 V

Atsakymas

v_L = 0,2898 V

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 75,64 ms

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Išreiškite laiką

8,4 = 6 + (12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,4 − 6)/(18 − 6) = 0,2

t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 47·ln(5) = 75,64 ms

Atsakymas

t = 75,64 ms

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: R_th = 5,333 Ω

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 2 = 5,333 Ω

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = 3,063 A

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 30 = 40 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,5 + 3·10 = 32,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 32,5 + 3·30 = 122,5 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = 122,5/40 = 3,063 A

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: φ = 78,65 °

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Lūžio dažnis

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·2,2 × 10⁻⁸) = 2066 rad/s

f_c = 328,8 Hz → f/f_c = 66/328,8 = 0,2007

Fazė

φ = 90° − atan(0,2007) = 78,65°

Atsakymas

φ = 78,65°

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: K = 49,74

Fazės kirtimas

(ω/2)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·9) = 4,243 rad/s

Modulis ties fazės kirtimu

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 81)) = K/(2·9·(2 + 9)) = K/198

Reikalingas stiprinimas

198/K = 10^12/20 = 3,981

K = 198/3,981 = 49,74

Atsakymas

K = 49,74

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

Ketvirtis

Atskaitos kampas

Argumentas

Atsakymas

Jungtinė pora

Išskirkite kvadratinį dauginamąjį

Realioji šaknis

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Fazės kampas

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Srovė

Įtampa ant kondensatoriaus

Atsakymas

Linijos srovė

Atsakymas

Esamos apkrovos reaktyvioji galia

Didžiausia bendra aktyvioji galia

Papildoma aktyvioji galia

Atsakymas

Būdingoji varža

Kokybės faktorius

Atsakymas

Sukaupta energija

Kokybės faktorius

Per ciklą prarasta energija

Atsakymas

Pilnutinė galia

Aktyvioji galia

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ritės įtampa

Atsakymas

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Išreiškite laiką

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Lūžio dažnis

Fazė

Atsakymas

Fazės kirtimas

Modulis ties fazės kirtimu

Reikalingas stiprinimas

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą