Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Raskite z = 3 − j5 argumentą θ laipsniais, kaip pagrindinę reikšmę tarp −180° ir 180°.

z = 3 − j5

θ = °

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Išspręskite z² − 2z + 26 = 0. Šaknys yra a ± jb; raskite b > 0.

p = −2q = 26

b =

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė, kurios C = 1 µF, turi rezonuoti esant 50 Hz. Raskite reikiamą induktyvumą L.

f₀ = 50 HzC = 1 µF

L = mH

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 50 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite grandinės rezonansinį dažnį f₀.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 400 V tinklo ima 40 kW, kai galios koeficientas 0,65 (induktyvus). Raskite linijos srovę I.

P = 40 kWpf = 0,65V = 400 V

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 240 V, 60 Hz tinklo ima 30 kW, kai galios koeficientas 0,6 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,95. Raskite reikiamą talpą C.

P = 30 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Nuosekliojo RLC grandinė rezonuoja ties 2 kHz, kai Q = 4. Raskite tikslų apatinį pusinės galios dažnį f₁ vienetais kHz.

f₀ = 2 kHzQ = 4

f₁ = kHz

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Nuosekliojo RLC grandinė (R = 10 Ω, L = 1 mH, C = 220 pF) rezonanso metu maitinama 20 mA srovės amplitude. Raskite per vieną ciklą R išsiskiriančią energiją E_cycle vienetais nJ.

R = 10 ΩL = 1 mHC = 220 pFI_m = 20 mA

E_cycle = nJ

9.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trifazė apkrova ima 50 A linijinę srovę iš tinklo, kurio linijinė įtampa 400 V. Galios koeficientas 0,92 (induktyvus). Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 400 VI_L = 50 Acos φ = 0,92

P = kW

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 400 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 75 kW, kai galios koeficientas 0,75 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti žvaigžde. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W momentu t = 1 ms, mJ.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Jungiklis ilgai buvo uždarytas, todėl grandinė yra nusistovėjusiame režime. Momentu t = 0 jungiklis atsidaro. Raskite srovę i₂ per R₂ momentu t = 30 ms.

V_s = 30 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 22 µFt = 30 ms

i₂ = mA

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Raskite Tevenino įtampą V_th, matomą iš gnybtų a–b.

V₁ = 24 VI_s = 0,5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytas RC aukštųjų dažnių filtras turi R = 1 kΩ, C = 1 nF. Taikoma sinusinė įvestis 800 kHz. Raskite v_out fazės poslinkį φ v_in atžvilgiu laipsniais.

R = 1 kΩC = 1 nFf = 800 kHz

φ = °

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 57,5/(s(s + 5)). Raskite fazės atsargą PM laipsniais.

L(s) = 57,5/(s(s + 5))

PM = °

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: θ = −59,04 °

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

Ketvirtis

a = 3, b = −5 → IV

Atskaitos kampas

α = atan(5/3) = 59,04°

Argumentas

θ = −α = −59,04°

Atsakymas

θ = −59,04°

Polinė forma z = 5,831∠−59,04°.

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: b = 5

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Diskriminantas

p² − 4q = 4 − 104 = −100 < 0

Kvadratinių lygčių formulė

z = (2 ± j√100)/2 = 1 + j5, 1 − j5

Atsakymas

b = 5

Atsakymas

b = 5

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: L = 10132 mH

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314,2²·1·10⁻⁶) = 10132 mH

Atsakymas

L = 10132 mH

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: f₀ = 328,3 Hz

Rezonansas

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC). Maitinimo dažnis nesvarbus.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·4,7·10⁻⁶)) = 328,3 Hz

Atsakymas

f₀ = 328,3 Hz

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 153,8 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Linijos srovė

Darbą atlieka tik aktyvioji galios dalis, todėl dalykite iš galios koeficiento.

I = P/(V·cos φ) = 40000/(400·0,65) = 153,8 A

Atsakymas

I = 153,8 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: C = 1388 µF

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(53,13°) = 40 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(18,19°) = 9,861 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30,14 kvar

Talpa

Prie maitinimo prijungtas kondensatorius tiekia Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 30139/(2π·60·240²) = 1388 µF

Atsakymas

C = 1388 µF

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: f₁ = 1,766 kHz

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Kvadratinės šaknies narys

√(1 + 1/(4·4²)) = 1,008

Apatinis pusinės galios dažnis

f₁ = 2000·(1,008 − 0,125) = 1766 Hz = 1,766 kHz

Atsakymas

f₁ = 1,766 kHz

Viršutinis yra f₂ = 2,266 kHz; patikra: f₂ − f₁ = 500 Hz = f₀/Q.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: E_cycle = 5,894 nJ

Sukaupta energija

W = ½·0,001·0,02² = 2 × 10⁻⁷ J

Kokybės faktorius

Q = (1/10)·√(0,001/2,2 × 10⁻¹⁰) = 213,2

Per ciklą prarasta energija

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2 × 10⁻⁷/213,2 = 5,894 × 10⁻⁹ J = 5,894 nJ

patikra: ½·0,02²·10/339319 = 5,894 × 10⁻⁹ J

Atsakymas

E_cycle = 5,894 nJ

9.Trifazė galia

Atsakymas: P = 31,87 kW

Pilnutinė galia

S = √3·V_L·I_L = √3·400·50 = 34,64 kVA

Aktyvioji galia

P = S·cos φ = 34,64·0,92 = 31,87 kW

Atsakymas

P = 31,87 kW

10.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 494,4 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,75) = 75·0,8819 = 66,14 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29,82 kvar

Vienos fazės talpa

Žvaigžde sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp linijos ir žvaigždės taško.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9940/(377·230,9²) = 494,4 µF

Atsakymas

C_ph = 494,4 µF

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W = 0,1394 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = 0,1277·(1 − e^−1/0,4681) = 0,1126 A

Sukaupta energija

W = ½·L·i² = ½·22·0,1126² = 0,1394 mJ

Atsakymas

W = 0,1394 mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: i₂ = 1,793 mA

Pradinė kondensatoriaus įtampa

Nusistovėjusiame režime kondensatorius yra atvira grandinė, todėl R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį. Atsidarius jungikliui, kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu.

v_C(0) = 30·2,2/(6,8 + 2,2) = 7,333 V

Laiko konstanta atsidarius jungikliui

τ = R₂·C = 2,2·22 = 48,4 ms

Išsikrovimas

v_C(t) = 7,333·e^−30/48,4 = 3,946 V

i₂ = v_C/R₂ = 3,946/2,2 = 1,793 mA

Atsakymas

i₂ = 1,793 mA

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = 0,1744 A

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 20 = 21,5 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, per R₃ srovė neteka, todėl ant jo nėra įtampos kritimo ir V_b = V_A. R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·2/(6+2) = 3,75 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = 3,75/21,5 = 0,1744 A

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: V_th = 16,35 V

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 25·8/(25+8) = 6,061 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,061 + 15 = 21,06 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5,818 + 0,5·6,061 = 8,848 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8,848 + 0,5·15 = 16,35 V

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: φ = 11,25 °

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Lūžio dažnis

ω_c = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s

f_c = 159155 Hz → f/f_c = 800000/159155 = 5,027

Fazė

φ = 90° − atan(5,027) = 11,25°

Atsakymas

φ = 11,25°

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: PM = 36,3 °

Stiprinimo kirtimas

ω⁴ + 25ω² − 3306 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·3306))/2 = 46,34

ω_c = 6,808 rad/s

Fazės atsarga

∠L(jω_c) = −90° − atan(6,808/5) = −143,7°

PM = 180° + ∠L = 36,3°

Atsakymas

PM = 36,3°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

Ketvirtis

Atskaitos kampas

Argumentas

Atsakymas

Diskriminantas

Kvadratinių lygčių formulė

Atsakymas

Atsakymas

Rezonanso sąlyga

Atsakymas

Rezonansas

Atsakymas

Linijos srovė

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Talpa

Atsakymas

Kvadratinės šaknies narys

Apatinis pusinės galios dažnis

Atsakymas

Sukaupta energija

Kokybės faktorius

Per ciklą prarasta energija

Atsakymas

Pilnutinė galia

Aktyvioji galia

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Vienos fazės talpa

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Srovė duotuoju momentu

Sukaupta energija

Atsakymas

Pradinė kondensatoriaus įtampa

Laiko konstanta atsidarius jungikliui

Išsikrovimas

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Lūžio dažnis

Fazė

Atsakymas

Stiprinimo kirtimas

Fazės atsarga

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą