Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Diagramoje pavaizduota z = 4 − j2. Kai w = 2∠90°, spustelėkite tašką, vaizduojantį z·w.

z = 4 − j2w = 2∠90°

1A (−4 − j8)
2B (4 + j8)
3C (1 + j2)
4D (2 + j4)

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Viena lygties z³ + 6z² + 4z − 40 = 0 šaknis yra z₁ = −4 + j2. Koeficientai realieji. Raskite realiąją šaknį r.

z₁ = −4 + j2

r =

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 120 V (efektinė), 50 Hz maitinimo. Raskite grandinės galios koeficientą cos φ.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 10 µF

cos φ =

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 24 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos modulį |Z|.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 20 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Induktyvioji apkrova iš 230 V (efektinė) vienfazio tinklo ima 9 A ir 1449 W. Modeliuokite ją kaip varžą R, nuosekliai sujungtą su reaktyviąja varža X. Raskite X.

V = 230 VI = 9 AP = 1449 W

X = Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 400 V, 60 Hz tinklo ima 40 kW, kai galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,95. Raskite naują linijos srovę I_new.

P = 40 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Nuosekliojo RLC grandinės R = 220 Ω, L = 47 mH ir C = 47 nF. Raskite jos kokybės faktorių Q.

R = 220 ΩL = 47 mHC = 47 nF

Q =

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Lygiagretusis virpesių kontūras sudarytas iš 22 nF kondensatoriaus ir 100 µH ritės, kurios apvijos varža 1 Ω. Rezonanso metu jis elgiasi kaip rezistorius, jo dinaminė varža R_D = L/(C·r). Raskite R_D kΩ.

L = 100 µHC = 22 nFr = 1 Ω

R_D = kΩ

9.Trifazė galiaVidutinis

Simetrinė trikampiu sujungta apkrova, kurios fazės impedansas 8 + j6 Ω, prijungta prie simetrinio trifazio tinklo, kurio linijinė įtampa 415 V. Raskite bendrą apkrovos naudojamą aktyviąją galią P kW.

V_L = 415 VZ = 8 + j6 Ω vienai fazei

P = kW

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 690 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 60 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,98 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 60 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite srovę i momentu t = 30 ms.

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 30 ms

i = A

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Jungiklis ilgai buvo uždarytas, todėl grandinė yra nusistovėjusiame režime. Momentu t = 0 jungiklis atsidaro. Raskite srovę i₂ per R₂ momentu t = 10 ms.

V_s = 10 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 10 ms

i₂ = mA

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Prie a–b prijungta apkrova R_L = 15 Ω. Likusią grandinės dalį pakeiskite Tevenino ekvivalentu ir raskite apkrovos srovę I_L.

V₁ = 30 VI_s = 0,5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytas RC žemųjų dažnių filtras turi R = 10 kΩ, C = 1 nF. Taikoma sinusinė įvestis 8 kHz. Raskite v_out fazės poslinkį φ v_in atžvilgiu laipsniais.

R = 10 kΩC = 1 nFf = 8 kHz

φ = °

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 194/(s(s + 4)(s + 7)). Raskite stiprinimo atsargą GM dB.

L(s) = 194/(s(s + 4)(s + 7))

GM = dB

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: B (4 + j8)

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

w poveikis

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

Taškas

z·w = 4 + j8 → B

Atsakymas

B (4 + j8)

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: r = 2

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Jungtinė pora

z₂ = −4 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 2²) = z² + 8z + 20

Išskirkite kvadratinį dauginamąjį

z³ + 6z² + 4z − 40 = (z² + 8z + 20)(z − 2)

Realioji šaknis

r = 2

Atsakymas

r = 2

Patikrinkite pagal šaknų sumą: z₁ + z₂ + r = −8 + 2 = −6 = −(6).

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: cos φ = 0,131

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

X_L = 15,71 Ω, X_C = 318,3 Ω

Pilnutinė varža

|Z| = √(40² + (−302,6)²) = 305,2 Ω

Galios koeficientas

cos φ = R/|Z| = 40/305,2 = 0,131

Grandinė talpinė, todėl galios koeficientas talpinis (srovė pralenkia).

Atsakymas

cos φ = 0,131

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: |Z| = 68,97 Ω

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,81 − j4,728 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 50 + 18,81 − j4,728 = 68,81 − j4,728 Ω

|Z| = √(68,81² + 4,728²) = 68,97 Ω

Atsakymas

|Z| = 68,97 Ω

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: X = 18,25 Ω

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Varža iš aktyviosios galios

R = P/I² = 1449/9² = 17,89 Ω

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

|Z| = V/I = 230/9 = 25,56 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(25,56² − 17,89²) = 18,25 Ω

Atsakymas

X = 18,25 Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I_new = 105,3 A

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(36,87°) = 30 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(18,19°) = 13,15 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 16,85 kvar

Nauja linijos srovė

I_new = P/(V·cos φ₂) = 40000/(400·0,95) = 105,3 A

Atsakymas

I_new = 105,3 A

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 4,545

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Būdingoji varža

√(L/C) = √(0,047/4,7 × 10⁻⁸) = 1000 Ω

Kokybės faktorius

Q = 1000/220 = 4,545

Atsakymas

Q = 4,545

Rezonansinis dažnis yra 3,386 kHz, todėl BW = f₀/Q = 745 Hz.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: R_D = 4,545 kΩ

Dinaminė varža

R_D = 1 × 10⁻⁴/(2,2 × 10⁻⁸·1) = 4545 Ω = 4,545 kΩ

Patikra pagal Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 67,42, Q²·r = 4545 Ω

Atsakymas

R_D = 4,545 kΩ

9.Trifazė galia

Atsakymas: P = 41,33 kW

Fazinė įtampa

V_ph = V_L = 415 V

Fazinė srovė

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω

I_ph = 415/10 = 41,5 A

Bendra aktyvioji galia

Aktyviąją galią naudoja tik aktyvioji kiekvieno impedanso dalis.

P = 3·I_ph²·R = 3·41,5²·8 = 41,33 kW

Atsakymas

P = 41,33 kW

Patikrinimas: cos φ = R/|Z| = 0,8, o √3·V_L·I_L·cos φ duoda tą pačią galią.

10.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 49,03 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,98) = 60·0,2031 = 12,18 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 49,03 kvar

Atsakymas

Q_C = 49,03 kvar

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: i = 0,5188 A

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0,6 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6·(1 − e^−30/15) = 0,5188 A

Atsakymas

i = 0,5188 A

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: i₂ = 0,8138 mA

Pradinė kondensatoriaus įtampa

Nusistovėjusiame režime kondensatorius yra atvira grandinė, todėl R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį. Atsidarius jungikliui, kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu.

v_C(0) = 10·1/(6,8 + 1) = 1,282 V

Laiko konstanta atsidarius jungikliui

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

Išsikrovimas

v_C(t) = 1,282·e^−10/22 = 0,8138 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,8138/1 = 0,8138 mA

Atsakymas

i₂ = 0,8138 mA

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = 0,4286 A

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 3 = 10,5 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, per R₃ srovė neteka, todėl ant jo nėra įtampos kritimo ir V_b = V_A. R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·12/(20+12) = 4,5 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = 4,5/10,5 = 0,4286 A

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_L = 0,3816 A

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 30·4/(30+4) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 15 = 18,53 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,529 + 0,5·3,529 = 5,294 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 5,294 + 0,5·15 = 12,79 V

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Tevenino šaltinis ir nuoseklus R_th gnybtuose a–b elgiasi lygiai kaip pradinė grandinė, todėl apkrova mato paprastą nuoseklų kontūrą.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 12,79/(18,53 + 15) = 0,3816 A

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: φ = −26,69 °

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Lūžio dažnis

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁹) = 100000 rad/s

f_c = 15915 Hz → f/f_c = 8000/15915 = 0,5027

Fazė

φ = − atan(0,5027) = −26,69°

Atsakymas

φ = −26,69°

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: GM = 4,015 dB

Fazės kirtimas

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·7) = 5,292 rad/s

Modulis ties fazės kirtimu

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 49)) = K/(4·7·(4 + 7)) = K/308

Stiprinimo atsarga

GM = 20·log₁₀(308/194) = 4,015 dB

Atsakymas

GM = 4,015 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

w poveikis

Taškas

Atsakymas

Jungtinė pora

Išskirkite kvadratinį dauginamąjį

Realioji šaknis

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Galios koeficientas

Atsakymas

Reaktyvioji varža

Lygiagretus junginys

Bendra pilnutinė varža

Atsakymas

Varža iš aktyviosios galios

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Nauja linijos srovė

Atsakymas

Būdingoji varža

Kokybės faktorius

Atsakymas

Dinaminė varža

Patikra pagal Q

Atsakymas

Fazinė įtampa

Fazinė srovė

Bendra aktyvioji galia

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Srovė duotuoju momentu

Atsakymas

Pradinė kondensatoriaus įtampa

Laiko konstanta atsidarius jungikliui

Išsikrovimas

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Lūžio dažnis

Fazė

Atsakymas

Fazės kirtimas

Modulis ties fazės kirtimu

Stiprinimo atsarga

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą