Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Kai z₁ = 2∠70° ir z₂ = 3∠20°, raskite w = z₁/z₂ realiąją dalį.

z₁ = 2∠70°z₂ = 3∠20°

Re(w) =

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Išspręskite z² − 2z + 7,25 = 0. Šaknys yra a ± jb; raskite realiąją dalį a.

p = −2q = 7,25

a =

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė prijungta prie 230 V (efektinė), 100 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Rezistorius R₁ nuosekliai sujungtas su lygiagrečiu R₂ ir kondensatoriaus C junginiu ir prijungtas prie 24 V (efektinė), 60 Hz maitinimo. Raskite efektinę srovę I.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 30 ΩC = 100 µF

I = A

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Induktyvioji apkrova iš 240 V (efektinė) vienfazio tinklo ima 17 A ir 2856 W. Modeliuokite ją kaip varžą R, nuosekliai sujungtą su reaktyviąja varža X. Raskite X.

V = 240 VI = 17 AP = 2856 W

X = Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

100 V (efektinė), 50 Hz šaltinio vidinė pilnutinė varža Z_s = 2 + j10 Ω. Apkrovos pilnutinę varžą Z_L galima pasirinkti laisvai. Raskite didžiausią aktyviąją galią P_max, kurią galima perduoti apkrovai.

V_s = 100 V (rms)f = 50 HzZ_s = 2 + j10 Ω

P_max = W

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Idealioje LC grandinėje, kurios L = 470 µH ir C = 1 nF, kondensatorius visiškai įkrautas, kai t = 0. Per kiek laiko visa energija atsiduria induktyvumo ritėje? Pateikite t µs.

L = 470 µHC = 1 nF

t = µs

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Nuosekliajame rezonansiniame kontūre naudojama 10 µH induktyvumo ritė. Kokia bendra nuoseklioji varža R duoda 2 kHz juostos plotį?

L = 10 µHBW = 2 kHz

R = Ω

9.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 7,5 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 95%, o galios koeficientas 0,88 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 400 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 7,5 kWη = 95%cos φ = 0,88V_L = 400 V

I_L = A

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 480 V (linijinė įtampa), 50 Hz tinklo ima 100 kW, kai galios koeficientas 0,78 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,95 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti trikampiu. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite įtampą v_L ant ritės momentu t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Laikmatis momentu t = 0 pradeda krauti neįkrautą kondensatorių per rezistorių iš 5 V šaltinio. Jis turi suveikti, kai kondensatoriaus įtampa pasiekia 3,16 V, lygiai po 200 ms nuo pradžios. Kai R = 1 kΩ, raskite reikiamą talpą C.

V_s = 5 VV_th = 3,16 VT = 200 msR = 1 kΩ

C = µF

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Prie a–b prijungta apkrova R_L = 10 Ω. Likusią grandinės dalį pakeiskite Tevenino ekvivalentu ir raskite apkrovos srovę I_L.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytame nuosekliajame RLC juostiniame filtre išėjimas imamas ant R = 5 Ω, kai L = 2 mH ir C = 1 µF. Raskite kokybės faktorių Q.

R = 5 ΩL = 2 mHC = 1 µF

Q =

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 70/(s(s + 1)(s + 10)). Raskite fazės kirtimo dažnį ω₁₈₀, kai ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 70/(s(s + 1)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: Re(w) = 0,4285

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

w modulis ir argumentas

|w| = 2 / 3 = 0,6667

θ = 70° − 20° = 50°

Algebrinė forma

Re(w) = 0,6667·cos(50°) = 0,4285

Im(w) = 0,6667·sin(50°) = 0,5107

Re(w) = 0,4285

Atsakymas

Re(w) = 0,4285

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: a = 1

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Diskriminantas

p² − 4q = 4 − 29 = −25 < 0

Kvadratinių lygčių formulė

z = (2 ± j√25)/2 = 1 + j2,5, 1 − j2,5

Atsakymas

a = 1

Atsakymas

a = 1

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 1,929 A

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyviosios varžos

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Pilnutinė varža

Nuosekliai pilnutinės varžos sudedamos kaip kompleksiniai skaičiai: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−64,91)²) = 119,2 Ω

Srovė

Visais nuoseklios grandinės elementais teka ta pati srovė.

I = V/|Z| = 230/119,2 = 1,929 A

Atsakymas

I = 1,929 A

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: I = 0,3698 A

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Lygiagretus junginys

Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš jungtinio kompleksinio skaičiaus, kad Z_p išskaidytumėte į realiąją ir menamąją dalis.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 13,16 − j14,89 Ω

Bendra pilnutinė varža

Z = 50 + 13,16 − j14,89 = 63,16 − j14,89 Ω

|Z| = √(63,16² + 14,89²) = 64,89 Ω

Srovė

I = V/|Z| = 24/64,89 = 0,3698 A

Atsakymas

I = 0,3698 A

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: X = 10,08 Ω

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Varža iš aktyviosios galios

R = P/I² = 2856/17² = 9,882 Ω

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

|Z| = V/I = 240/17 = 14,12 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(14,12² − 9,882²) = 10,08 Ω

Atsakymas

X = 10,08 Ω

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: P_max = 1250 W

Jungtinis suderinimas

Apkrovos reaktyvioji varža panaikina šaltinio reaktyviąją varžą, o apkrovos varža lygi šaltinio varžai.

Z_L = Z_s* = 2 − j10 Ω

Didžiausia galia

I = V_s/(2R_s) = 100/4 = 25 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·2) = 1250 W

Atsakymas

P_max = 1250 W

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: t = 1,077 µs

LC rezonansas: įkrautas kondensatorius, prijungtas prie induktyvumo ritės, varo srovę, kuri jį įkrauna priešinga kryptimi: energija svyruoja tarp C elektrinio lauko (½Cv²) ir L magnetinio lauko (½Li²) savuoju dažniu f₀ = 1/(2π√(LC)). Be varžos visa energija ½CV₀² išlieka pastovi, todėl didžiausia srovė yra I_max = V₀√(C/L). Vienas periodas yra T = 1/f₀; energija iš C į L pereina per ketvirtį jo.

Periodas

T = 2π√(0,00047·1 × 10⁻⁹) = 4,308 µs

Ketvirtis periodo

t = T/4 = 1,077 µs

Atsakymas

t = 1,077 µs

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: R = 0,1257 Ω

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Nuosekliojo kontūro juostos plotis

BW = R/(2πL)

Varža

R = 2π·1 × 10⁻⁵·2000 = 0,1257 Ω

Atsakymas

R = 0,1257 Ω

9.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 12,95 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 7,5/0,95 = 7,895 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 7895/(√3·400·0,88) = 12,95 A

Atsakymas

I_L = 12,95 A

10.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 218,1 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 47,36 kvar

Vienos fazės talpa

Trikampiu sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp dviejų linijų.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 15787/(314,2·480²) = 218,1 µF

Atsakymas

C_ph = 218,1 µF

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: v_L = 1,839 V

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0,5 A

Ritės įtampa

Momentu t = 0 visa maitinimo įtampa yra ant ritės; vėliau ji slopsta iki nulio.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/1 = 1,839 V

Atsakymas

v_L = 1,839 V

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: C = 200,1 µF

Reikiama laiko konstanta

3,16 = 5·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(5/(5 − 3,16))

τ = 200/0,9997 = 200,1 ms

Talpa

kΩ kart µF duoda milisekundes.

C = τ/R = 200,1/1 = 200,1 µF

Atsakymas

C = 200,1 µF

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_L = 0,2182 A

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 4 = 5,714 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, per R₃ srovė neteka, todėl ant jo nėra įtampos kritimo ir V_b = V_A. R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·2/(12+2) = 3,429 V

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Tevenino šaltinis ir nuoseklus R_th gnybtuose a–b elgiasi lygiai kaip pradinė grandinė, todėl apkrova mato paprastą nuoseklų kontūrą.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,429/(5,714 + 10) = 0,2182 A

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = −2,101 A

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·25/(4+25) = 3,448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,448 + 2 = 5,448 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10,34 + (−4)·3,448 = −3,448 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −3,448 + (−4)·2 = −11,45 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = −11,45/5,448 = −2,101 A

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: Q = 8,944

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Rezonansinis dažnis

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,002·1 × 10⁻⁶) = 22361 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 3559 Hz

Kokybės faktorius

BW = R/L = 5/0,002 = 2500 rad/s = 397,9 Hz

Q = ω₀/BW = 22361/2500 = 8,944

Atsakymas

Q = 8,944

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: ω₁₈₀ = 3,162 rad/s

Fazės kirtimas

(ω/1)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·10) = 3,162 rad/s

Atsakymas

ω₁₈₀ = 3,162 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

w modulis ir argumentas

Algebrinė forma

Atsakymas

Diskriminantas

Kvadratinių lygčių formulė

Atsakymas

Atsakymas

Reaktyviosios varžos

Pilnutinė varža

Srovė

Atsakymas

Reaktyvioji varža

Lygiagretus junginys

Bendra pilnutinė varža

Srovė

Atsakymas

Varža iš aktyviosios galios

Reaktyvioji varža iš pilnutinės varžos

Atsakymas

Jungtinis suderinimas

Didžiausia galia

Atsakymas

Periodas

Ketvirtis periodo

Atsakymas

Nuosekliojo kontūro juostos plotis

Varža

Atsakymas

Naudojama elektrinė galia

Linijos srovė

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Vienos fazės talpa

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ritės įtampa

Atsakymas

Reikiama laiko konstanta

Talpa

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Rezonansinis dažnis

Kokybės faktorius

Atsakymas

Fazės kirtimas

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą