Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Užrašykite z = 2,5∠25° algebrine forma a + jb ir nurodykite menamąją dalį b.

r = 2,5θ = 25°

b =

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Lygiai vienas iš taškų A–D yra lygties z⁴ = 16∠120° šaknis. Spustelėkite jį.

w = 16∠120°n = 4

1A (2∠−120°)
2B (2∠165°)
3C (1∠120°)
4D (2∠120°)

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Rezistorius ir kondensatorius lygiagrečiai prijungti prie 120 V (efektinė), 200 Hz maitinimo. Raskite pilnutinės varžos fazės kampą φ laipsniais (teigiamas, kai srovė atsilieka nuo įtampos).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩC = 22 µF

φ = °

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuoseklios RLC grandinės R = 10 Ω, L = 100 mH ir C = 1 µF. Raskite jos praleidžiamųjų dažnių juostos plotį B (juostos tarp pusinės galios dažnių plotį) Hz.

R = 10 ΩL = 100 mHC = 1 µF

B = Hz

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Vienfazis variklis iš 400 V tinklo ima 35 kW, kai galios koeficientas 0,85 (induktyvus). Raskite jo naudojamą reaktyviąją galią Q.

P = 35 kWpf = 0,85V = 400 V

Q = kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 400 V, 50 Hz tinklo ima 5 kW, kai galios koeficientas 0,6 (induktyvus). Lygiagrečiai prijungtas kondensatorius padidina galios koeficientą iki 0,95. Raskite naują linijos srovę I_new.

P = 5 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,95V = 400 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Idealioje LC grandinėje, kurios L = 22 mH ir C = 2,2 nF, kondensatorius visiškai įkrautas, kai t = 0. Per kiek laiko visa energija atsiduria induktyvumo ritėje? Pateikite t µs.

L = 22 mHC = 2,2 nF

t = µs

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Rezonanso kreivės pusinės galios dažniai yra 5 kHz ir 6,25 kHz. Raskite rezonansinį dažnį kaip jų geometrinį vidurkį, o paskui kokybės faktorių Q.

f₁ = 5 kHzf₂ = 6,25 kHz

Q =

9.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 15 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 91%, o galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 415 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 15 kWη = 91%cos φ = 0,8V_L = 415 V

I_L = A

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 415 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 250 kW, kai galios koeficientas 0,8 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,9 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Raskite bendrą reaktyviąją galią Q_C, kurią turi tiekti kondensatorių baterija, kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Raskite ritėje sukauptą energiją W momentu t = 1 ms, mJ.

V_s = 15 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Prieš pat jungiklio užsidarymą momentu t = 0 kondensatoriaus įtampa yra 10 V su pažymėtu poliškumu. Raskite kondensatoriaus įtampą v_C momentu t = 150 ms.

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 10 Vt = 150 ms

v_C = V

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Tevenino varžą R_th, matomą iš gnybtų a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 Ω

R_th = Ω

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Prie a–b prijungta apkrova R_L = 20 Ω. Naudodami Tevenino ekvivalentą raskite apkrovai tiekiamą galią P_L.

V₁ = 5 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 20 Ω

P_L = W

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Raskite G(s) = 2090/((s + 11)(s + 19)) tikslų modulį |G(jω)|, kai ω = 5 rad/s, dB.

G(s) = 2090/((s + 11)(s + 19))ω = 5 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 6/(s(s + 1)). Raskite fazės atsargą PM laipsniais.

L(s) = 6/(s(s + 1))

PM = °

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: b = 1,057

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

Dedamosios

a = 2,5·cos(25°) = 2,266

b = 2,5·sin(25°) = 1,057

Algebrinė forma

z = 2,266 + j1,057

b = 1,057

Atsakymas

b = 1,057

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: D (2∠120°)

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Šaknų modulis ir argumentai

|z| = 2

θ = 30°, 120°, −150°, −60°

Taškas

D = 2∠120°

Atsakymas

D (2∠120°)

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: φ = −54,12 °

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Reaktyvioji varža

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Šakų srovės

Abi šakos prijungtos tiesiai prie maitinimo, todėl kiekvienai tenka visa įtampa V.

I_R = V/R = 120/50 = 2,4 A

I_X = V/X_C = 120/36,17 = 3,318 A

Bendra srovė

Rezistoriaus srovė sutampa faze su V, o reaktyvioji srovė pasislinkusi 90°, todėl jos sudedamos kaip stačiojo trikampio statiniai.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 3,318²) = 4,095 A

Fazės kampas

Kondensatoriaus srovė pralenkia V, todėl bendra srovė pralenkia, o kampas neigiamas.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(3,318/2,4) = −54,12°

Atsakymas

φ = −54,12°

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: B = 15,92 Hz

Rezonansinis dažnis

f₀ = 1/(2π·√(0,1·1·10⁻⁶)) = 503,3 Hz

Kokybės faktorius

Q palygina reaktyviąją varžą rezonanso metu su varža: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,1/(1·10⁻⁶)) = 31,62

Juostos plotis

B = f₀/Q = 503,3/31,62 = 15,92 Hz

Atsakymas

B = 15,92 Hz

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: Q = 21,69 kvar

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kampas

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Reaktyvioji galia

Q = P·tan φ = 35·0,6197 = 21,69 kvar

Atsakymas

Q = 21,69 kvar

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I_new = 13,16 A

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(53,13°) = 6,667 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(18,19°) = 1,643 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 5,023 kvar

Nauja linijos srovė

I_new = P/(V·cos φ₂) = 5000/(400·0,95) = 13,16 A

Atsakymas

I_new = 13,16 A

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: t = 10,93 µs

LC rezonansas: įkrautas kondensatorius, prijungtas prie induktyvumo ritės, varo srovę, kuri jį įkrauna priešinga kryptimi: energija svyruoja tarp C elektrinio lauko (½Cv²) ir L magnetinio lauko (½Li²) savuoju dažniu f₀ = 1/(2π√(LC)). Be varžos visa energija ½CV₀² išlieka pastovi, todėl didžiausia srovė yra I_max = V₀√(C/L). Vienas periodas yra T = 1/f₀; energija iš C į L pereina per ketvirtį jo.

Periodas

T = 2π√(0,022·2,2 × 10⁻⁹) = 43,71 µs

Ketvirtis periodo

t = T/4 = 10,93 µs

Atsakymas

t = 10,93 µs

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 4,472

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Rezonansinis dažnis

f₀ = √(5000·6250) = 5590 Hz

Juostos plotis

BW = 6250 − 5000 = 1250 Hz

Kokybės faktorius

Q = 5590/1250 = 4,472

Atsakymas

Q = 4,472

9.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 28,66 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 15/0,91 = 16,48 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16484/(√3·415·0,8) = 28,66 A

Atsakymas

I_L = 28,66 A

10.Trifazė galia

Atsakymas: Q_C = 66,42 kvar

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,8) = 250·0,75 = 187,5 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 66,42 kvar

Atsakymas

Q_C = 66,42 kvar

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: W = 1,838 mJ

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 15/22 = 0,6818 A

Srovė duotuoju momentu

i(t) = 0,6818·(1 − e^−1/0,4545) = 0,6063 A

Sukaupta energija

W = ½·L·i² = ½·10·0,6063² = 1,838 mJ

Atsakymas

W = 1,838 mJ

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: v_C = 13,88 V

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Kondensatoriaus įtampa negali pasikeisti šuoliu, todėl ji pradeda nuo sukauptos vertės ir artėja prie šaltinio įtampos.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 15 + (10 − 15)·e^−t/τ

Įtampa duotuoju momentu

v_C(150) = 15 + (−5)·e^−150/100 = 13,88 V

Atsakymas

v_C = 13,88 V

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: R_th = 9,8 Ω

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 5 = 9,8 Ω

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: P_L = 48,75 W

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 20 = 22,4 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1 + (−3)·2,4 = −6,2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −6,2 + (−3)·20 = −66,2 V

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Tevenino šaltinis ir nuoseklus R_th gnybtuose a–b elgiasi lygiai kaip pradinė grandinė, todėl apkrova mato paprastą nuoseklų kontūrą.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −66,2/(22,4 + 20) = −1,561 A

P_L = I_L²·R_L = −1,561²·20 = 48,75 W

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: |G(jω)| = 18,89 dB

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Sudauginkite modulius

|G(j5)| = 2090/(√(5² + 11²)·√(5² + 19²)) = 2090/(12,08·19,65) = 8,804

Rezultatas

20·log₁₀(8,804) = 18,89 dB

Atsakymas

|G(jω)| = 18,89 dB

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: PM = 23,05 °

Stiprinimo kirtimas

ω⁴ + 1ω² − 36 = 0

ω² = (−1 + √(1 + 4·36))/2 = 5,521

ω_c = 2,35 rad/s

Fazės atsarga

∠L(jω_c) = −90° − atan(2,35/1) = −156,9°

PM = 180° + ∠L = 23,05°

Atsakymas

PM = 23,05°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

Dedamosios

Algebrinė forma

Atsakymas

Šaknų modulis ir argumentai

Taškas

Atsakymas

Reaktyvioji varža

Šakų srovės

Bendra srovė

Fazės kampas

Atsakymas

Rezonansinis dažnis

Kokybės faktorius

Juostos plotis

Atsakymas

Kampas

Reaktyvioji galia

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Nauja linijos srovė

Atsakymas

Periodas

Ketvirtis periodo

Atsakymas

Rezonansinis dažnis

Juostos plotis

Kokybės faktorius

Atsakymas

Naudojama elektrinė galia

Linijos srovė

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Srovė duotuoju momentu

Sukaupta energija

Atsakymas

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Įtampa duotuoju momentu

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Prijunkite apkrovą prie Tevenino ekvivalento

Sudauginkite modulius

Rezultatas

Atsakymas

Stiprinimo kirtimas

Fazės atsarga

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą