Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
8 bitų seka 1111 0110 saugo sveikąjį skaičių su ženklu papildomajame kode. Kokia jo reikšmė N dešimtainėje sistemoje?
Nesuspaustas vaizdas yra 1024 × 768 pikselių, 32 bitų pikseliui. Kiek atminties M jis užima, KiB (1 KiB = 1024 baitai)?
Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti (p ∧ q) → r? Spustelėkite ją.
Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro ((r ∧ ¬q) ∨ p) → (s → ¬(¬q → s)) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.
Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 12, 15) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek iš viso literalų L ji turi (su brūkšneliu žymimas kintamasis skaičiuojamas kaip vienas literalas)?
Sinchroninis mod-12 skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, 11 ir tada grįžta į 0. Jis pradeda nuo 1. Kokį skaičių Q (dešimtainiu pavidalu) jis rodo po 22 taktinių impulsų?
Raskite Oilerio funkciją φ(12), t. y. sveikųjų skaičių nuo 1 iki 12, tarpusavyje pirminių su 12, skaičių.
RSA raktas naudoja p = 17, q = 31 ir e = 23. Iššifruokite šifrogramą c = 52: raskite pranešimą m.
Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(1) sprendinys?
Kuris rėžis teisingas log(n!)?
Koks didžiausias galimas užpildymo koeficientas maišos lentelėje su atviruoju adresavimu?
Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:
Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K8? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.
Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš A į E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.
Kuri užklausa grąžina didžiausią atlyginimą kiekviename skyriuje?
Užklausa FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' netikėtai praranda klientus be užsakymų. Kodėl?
Kodėl komutatorius kartais siunčia kadrą per visus prievadus, išskyrus tą, per kurį jis atėjo?
Kodėl TCP kiekvienam ryšiui parenka nenuspėjamą pradinį sekos numerį?
Tinklą 192.168.10.0/24 reikia padalyti į bent 6 vienodų potinklių. Jei pasiskolinsite kuo mažiau bitų, kiek naudojamų mazgų H turės kiekvienas potinklis?
Mazgo adresas yra 10.20.6.215/28. Koks yra jo potinklio transliacijos adreso paskutinis skaičius (ketvirtasis oktetas) x?
Atsakymas: N = −10
Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.
Kiti bitai išlaiko įprastas teigiamas vertes.
Atsakymas: M = 3072 KiB
Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.
Atsakymas: p → (q → r)
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.
Atsakymas: N = 11
Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.
Atsakymas: L = 10
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.
Atsakymas: Q = 11
Trigeriai ir skaitikliai: trigeris keičiasi tik aktyviu taktinio signalo frontu. D nukopijuoja savo įėjimą (Q⁺ = D); T perjungia, kai T = 1; JK išlaiko esant 00, nustato į 0 esant 01, nustato į 1 esant 10 ir perjungia esant 11. n bitų dvejetainis skaitiklis turi 2ⁿ būsenų ir skaičiuoja moduliu 2ⁿ; mod-N skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, N − 1 ir grįžta į 0, jam reikia mažiausiai n trigerių, kad 2ⁿ ≥ N. Kiekviena nuosekliojo (ripple) skaitiklio pakopa perpus sumažina dažnį, todėl paskutinis mod-N skaitiklio išėjimas veikia fclk/N dažniu. n trigerių Johnsono skaitiklis turi 2n būsenų, žiedinis – n.
Kas 12 impulsų skaitiklis grįžta į tą pačią būseną.
Atsakymas: φ(12) = 4
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Atsakymas: m = 86
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.
Atsakymas: D · O(n)
Pagal pagrindinę teoremą (master theorem) nlog₂ 2 = n dominuoja pastovų darbą, todėl T(n) = Θ(n), kaip ieškant maksimumo dalijant pusiau.
Atsakymas: C · Θ(n log n)
log(n!) ≤ n log n, o didžiausi n / 2 daugiklių duoda log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); todėl rikiavimui palyginimais reikia Ω(n log n).
Atsakymas: C · 1
Taikant atvirąjį adresavimą visi raktai saugomi pačioje lentelėje, todėl n negali viršyti m; atskirų grandinių metodu užpildymo koeficientas gali būti didesnis už 1.
Atsakymas: A · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.
Atsakymas: H = 2520
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Atsakymas: N = 2
Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.
Atsakymas: D · SELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
GROUP BY dept sukuria grupę kiekvienam skyriui, o MAX(salary) kiekvienoje išrenka didžiausią reikšmę.
Atsakymas: D · WHERE sąlyga o lentelei atmeta NULL reikšmėmis užpildytas eilutes ir paverčia sujungimą vidiniu
Nesutampančių eilučių o.status yra NULL, todėl WHERE patikra nėra TRUE; perkėlus sąlygą į ON sąlygą, paliekamas kiekvienas klientas.
Atsakymas: C · Paskirties MAC adreso dar nėra jo adresų lentelėje
Esant nežinomam vienaadresiam (unicast) adresui, komutatorius kadrą išsiunčia visur (flooding). Kai paskirties įrenginys atsako, komutatorius pagal šaltinio MAC sužino jo prievadą.
Atsakymas: A · Kad nebūtų painiojama su senais segmentais ir būtų sunkiau įterpti suklastotus segmentus
Atsitiktiniai pradiniai sekos numeriai neleidžia priimti pavėlavusių segmentų iš senų ryšių ir apsunkina ne kelyje esantiems užpuolikams klastoti galiojančius segmentus.
Atsakymas: H = 30
IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).
Atsakymas: x = 223
IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals