Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės
dvejetainė 2k, aštuntainė 8k, šešioliktainė 16k
Į dešimtainę
Σ dk·bk
Iš dešimtainės
dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė
vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas
invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės
2ⁿ
Implikacija
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

  1. Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
  2. Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
  3. Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
  4. Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
  5. Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė
netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Trigeriai
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai
n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis
fmax = 1/(n·tpd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai
n ir 2n būsenų

Metodas

  1. Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
  2. Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
  3. Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
  4. Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

  1. Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
  2. Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
  3. Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
  4. Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
  5. Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis
256 − (mask octet)
Tinklo adresas
IP AND kaukė
Transliacijos adresas
IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų
2n

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis
pozicijų vertės papildomajame kode1−12816403201608140211

8 bitų seka 1100 0101 saugo sveikąjį skaičių su ženklu papildomajame kode. Kokia jo reikšmė N dešimtainėje sistemoje?

1100 01018 bit
N =
2.Skaičiavimo sistemosSunkus
spustelėkite bitus, kad juos nustatytumėte012806403201608040201

Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 0010 0000 >> 1. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?

0010 0000>> 1
R =
3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
pqr(r ↔ p) ∨ q¬((r ↔ p) ∨ q)(p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q)111?110?101?100?011?010?001?000?

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

(p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q)
N =
4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro ¬(r ∧ (q ∨ p)) ↔ ¬((s ∧ ¬q) ∧ r) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.

¬(r ∧ (q ∨ p)) ↔ ¬((s ∧ ¬q) ∧ r)
N =
5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis
ABC00011110010011030204051716

Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C) = Σm(1, 6, 7) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek iš viso literalų L ji turi (su brūkšneliu žymimas kintamasis skaičiuojamas kaip vienas literalas)?

F(A, B, C) = Σm(1, 6, 7)
L =
6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus
CLKD12345678

Kylančiuoju frontu valdomas D trigeris pradeda nuo Q = 0 ir gauna parodytus įėjimus. Spustelėkite pirmąjį taktinį frontą, kuriuo Q iš 1 grįžta į 0.

Q₀ = 0D
  1. 1taktinis frontas 1
  2. 2taktinis frontas 2
  3. 3taktinis frontas 3
  4. 4taktinis frontas 4
  5. 5taktinis frontas 5
  6. 6taktinis frontas 6
  7. 7taktinis frontas 7
  8. 8taktinis frontas 8
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite mažiausią teigiamą sveikąjį skaičių x, kur x ≡ 3 (mod 7) ir x ≡ 4 (mod 13).

x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 4 (mod 13)
x =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (559, 13)d = ?

RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 13 ir q = 43 bei viešąjį rodiklį e = 13. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 43e = 13
d =
9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl dinaminis programavimas realiai nepagreitina rikiavimo suliejimu?

  1. ARikiavimas suliejimu neturi rekursinės struktūros
  2. BRikiavimas suliejimu jau yra O(n)
  3. CDinaminis programavimas veikia tik su grafų uždaviniais, bet ne su masyvais
  4. DJo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie P ir NP yra teisingas?

  1. ANP reiškia „nepolinominis“ (not polynomial)
  2. BKiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
  3. CNP uždavinių sprendinių negalima greitai patikrinti
  4. DĮrodyta, kad P ≠ NP
11.Duomenų struktūrosVidutinis

Kuris kolizijų sprendimo metodas saugo susidūrusius raktus sąraše tame pačiame kibire?

  1. ADvigubas maišymas
  2. BAtskiros grandinės (separate chaining)
  3. CTiesinis zondavimas
  4. DKvadratinis zondavimas
12.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl iš standartinio Bloomo filtro elementų negalima tiesiog pašalinti išvalant jų bitus?

  1. ABloomo filtro bitų negalima keisti po sukūrimo
  2. BŠalinimas padidintų klaidingai teigiamų atsakymų dažnį iki 100%
  3. CBloomo filtrai saugo visus elementus, o suhešavus jų vėl neįmanoma rasti
  4. DTie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
13.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
14.Grafų teorijaSunkus
33311131414ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =
15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

Studentai gali lankyti daug kursų, o kursus lanko daug studentų. Kaip tai modeliuojama lentelėmis?

  1. ASujungiant studentus ir kursus į vieną lentelę
  2. BVienu stulpeliu, saugančiu kursų id sąrašą
  3. CTarpine lentele, laikančia išorinius raktus ir į studentus, ir į kursus
  4. DIšoriniu raktu course_id studentų lentelėje, nurodančiu į kursus
16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Kodėl užklausa su WHERE YEAR(order_date) = 2025 gali nenaudoti stulpelio order_date indekso?

  1. AYEAR nėra galiojantis SQL
  2. BIndeksas pagal order_date naudojamas tik ORDER BY sąlygoms, niekada WHERE
  3. CFunkcijos taikymas stulpeliui neleidžia atlikti paprastos intervalinės paieškos indekse
  4. DIndeksai niekada neveikia su datomis
17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

Kokia pagrindinė VLAN paskirtis?

  1. APadidinti kiekvieno komutatoriaus prievado spartą
  2. BŠifruoti visą srautą tarp komutatorių, kad kiti skyriai jo neperskaitytų
  3. CSuteikti kiekvienam įrenginiui viešąjį IP adresą
  4. DPadalyti vieną fizinį komutuojamą tinklą į atskiras transliavimo sritis
18.Kompiuterių tinklaiSunkus

Kuris mechanizmas apsaugo nuo transliavimo kilpų tinkle su perteklinėmis jungtimis tarp komutatorių?

  1. ANAT
  2. BDHCP snooping
  3. CARP podėlis
  4. DSpanning Tree Protocol
19.IPv4 potinkliaiVidutinis
/?11111111111111111111100000000000tinklo bitaimazgo bitai

Skyriui viename potinklyje reikia 1337 mazgų adresų. Koks yra ilgiausias prefiksas p (mažiausias potinklis), kurio pakanka?

1337 hosts
p =
20.IPv4 potinkliaiSunkus

Tinklas 192.168.249.0/24 VLSM būdu dalijamas šiems LAN: A: 23 mazgai, B: 34 mazgai, C: 5 mazgai, D: 14 mazgai, E: 13 mazgai. Potinkliai skiriami nuo .0 aukštyn, pirmiausia LAN su daugiausia mazgų, kiekvienam mažiausias tinkamas potinklis. Koks LAN A tinklo adreso ketvirtasis oktetas x?

A: 23B: 34C: 5D: 14E: 13
x =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: N = −59

Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.

Sudėkite vertes

Kiti bitai išlaiko įprastas teigiamas vertes.

−128 + 64 + 4 + 1 = −59

Atsakymas

N = −59
2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: R = 16

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Bitas po bito

Postūmis dešinėn 1 perkelia kiekvieną bitą 1 pozicijomis į dešinę; bitai, iškritę iš dešiniojo galo, prarandami, o kairėje įeina nuliai.

0010 0000 >> 1
= 0001 0000

Rezultato reikšmė

0001 0000₂ = 16

Atsakymas

R = 16
3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 6

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

p = 1, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, r ↔ p = 1, (r ↔ p) ∨ q = 1, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: p ∨ r = 1, r ↔ p = 0, (r ↔ p) ∨ q = 1, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, r ↔ p = 1, (r ↔ p) ∨ q = 1, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1
p = 1, q = 0, r = 0: p ∨ r = 1, r ↔ p = 0, (r ↔ p) ∨ q = 0, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1
p = 0, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, r ↔ p = 0, (r ↔ p) ∨ q = 1, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: p ∨ r = 0, r ↔ p = 1, (r ↔ p) ∨ q = 1, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, r ↔ p = 0, (r ↔ p) ∨ q = 0, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 1
p = 0, q = 0, r = 0: p ∨ r = 0, r ↔ p = 1, (r ↔ p) ∨ q = 1, ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0, (p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q) = 0

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

(p ∨ r) ∨ ¬((r ↔ p) ∨ q): 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0
N = 6

Atsakymas

N = 6
4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 10

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Stulpeliai

q ∨ p; r ∧ (q ∨ p); ¬(r ∧ (q ∨ p)); ¬q; s ∧ ¬q; (s ∧ ¬q) ∧ r; ¬((s ∧ ¬q) ∧ r); ¬(r ∧ (q ∨ p)) ↔ ¬((s ∧ ¬q) ∧ r)

Skaidymas pagal p

p = 1: 5
p = 0: 5
N = 5 + 5 = 10

Atsakymas

N = 10
5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: L = 5

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

ABC00011110010011030204051716

Sugrupuokite vienetus

Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.

AB
A′B′C

Minimali SOP forma

F = AB + A′B′C
L = 5

Atsakymas

L = 5
6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: taktinis frontas 5

Trigeriai ir skaitikliai: trigeris keičiasi tik aktyviu taktinio signalo frontu. D nukopijuoja savo įėjimą (Q⁺ = D); T perjungia, kai T = 1; JK išlaiko esant 00, nustato į 0 esant 01, nustato į 1 esant 10 ir perjungia esant 11. n bitų dvejetainis skaitiklis turi 2ⁿ būsenų ir skaičiuoja moduliu 2ⁿ; mod-N skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, N − 1 ir grįžta į 0, jam reikia mažiausiai n trigerių, kad 2ⁿ ≥ N. Kiekviena nuosekliojo (ripple) skaitiklio pakopa perpus sumažina dažnį, todėl paskutinis mod-N skaitiklio išėjimas veikia fclk/N dažniu. n trigerių Johnsono skaitiklis turi 2n būsenų, žiedinis – n.

Q po kiekvieno fronto

D trigeris kiekvienu kylančiuoju frontu nukopijuoja D: Q⁺ = D.

1: D = 0 → Q = 0
2: D = 0 → Q = 0
3: D = 0 → Q = 0
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 0 → Q = 0
7: D = 1 → Q = 1
8: D = 0 → Q = 0

Pirmasis pokytis iš 1 į 0

taktinis frontas 5

Atsakymas

taktinis frontas 5
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: x = 17

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Pirmoji kongruencija

x = 3 + 7k

Antroji kongruencija

3 + 7k ≡ 4 (mod 13) → 7k ≡ 1 (mod 13)
k ≡ 2·1 ≡ 2 (mod 13)

Rezultatas

x = 3 + 7·2 = 17
x = 17
patikra: 17 mod 7 = 3, 17 mod 13 = 4

Atsakymas

x = 17
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: d = 349

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Modulis ir Oilerio funkcija

n = 13·43 = 559
φ(n) = 12·42 = 504

Išplėstinis Euklido algoritmas

r = 504, t = 0
r = 13, q = 38, t = 1
r = 10, q = 1, t = −38
r = 3, q = 3, t = 39
r = 1, q = 3, t = −155

Privatusis rodiklis

d = 349
patikra: 13·349 = 4537 = 9·504 + 1

Atsakymas

d = 349
9.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimo suliejimu pusės nesikerta ir kiekviena sprendžiama vieną kartą; DP padeda tik tada, kai daliniai uždaviniai kartojasi, kaip Fibonačio atveju.

Atsakymas

D · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
10.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP

Kodėl tai yra atsakymas

P ⊆ NP: jei uždavinį galite greitai išspręsti, galite ir greitai patikrinti sprendinį. Ar P = NP, vis dar yra atviras klausimas.

Atsakymas

B · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
11.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Atskiros grandinės (separate chaining)

Kodėl tai yra atsakymas

Grandinių metodas kiekvienam kibirui laiko susietąjį sąrašą (ar kitą struktūrą); atvirasis adresavimas ieško kitos laisvos vietos pačioje lentelėje.

Atsakymas

B · Atskiros grandinės (separate chaining)
12.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai

Kodėl tai yra atsakymas

Išvalius bendrą bitą, kitas elementas atrodytų nesantis; skaičiuojantieji Bloomo filtrai vietoj bitų laiko skaitiklius, kad būtų galima šalinti.

Atsakymas

D · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
13.Grafų teorija

Atsakymas: L = 19

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 41 = 2(L + 12) − 2
L = 19

Atsakymas

L = 19

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

14.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 12

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): C: 3
C (3): B: 6, E: 4
E (4): D: 15, F: 18
B (6): D: 9
D (9): F: 12
F (12)

Trumpiausias kelias

A → C → B → D → F
d(F) = 12

Atsakymas

d(F) = 12
15.Duomenų bazės ir SQL

Atsakymas: C · Tarpine lentele, laikančia išorinius raktus ir į studentus, ir į kursus

Kodėl tai yra atsakymas

Ryšiui daugelis su daugeliu reikia asociatyviosios (tarpinės) lentelės, pvz., enrolment(student_id, course_id), dažnai su sudėtiniu pirminiu raktu.

Atsakymas

C · Tarpine lentele, laikančia išorinius raktus ir į studentus, ir į kursus
16.Duomenų bazės ir SQL

Atsakymas: C · Funkcijos taikymas stulpeliui neleidžia atlikti paprastos intervalinės paieškos indekse

Kodėl tai yra atsakymas

Ši išraiška nėra „sargable“; naudojant order_date >= '2025-01-01' AND order_date < '2026-01-01' galima atlikti intervalinį indekso skenavimą.

Atsakymas

C · Funkcijos taikymas stulpeliui neleidžia atlikti paprastos intervalinės paieškos indekse
17.Kompiuterių tinklai

Atsakymas: D · Padalyti vieną fizinį komutuojamą tinklą į atskiras transliavimo sritis

Kodėl tai yra atsakymas

VLAN logiškai sugrupuoja prievadus, todėl transliavimai lieka kiekviename VLAN. Tai gerina saugumą ir riboja transliavimo srautą.

Atsakymas

D · Padalyti vieną fizinį komutuojamą tinklą į atskiras transliavimo sritis
18.Kompiuterių tinklai

Atsakymas: D · Spanning Tree Protocol

Kodėl tai yra atsakymas

STP išrenka šakninį tiltą (root bridge) ir užblokuoja perteklinius kelius, atblokuodamas juos, jei sugenda aktyvi jungtis.

Atsakymas

D · Spanning Tree Protocol
19.IPv4 potinkliai

Atsakymas: p = 21

IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).

Reikalingi mazgo bitai

210 − 2 = 1022 < 1337
211 − 2 = 2046 ≥ 1337 → h = 11

Prefikso ilgis

p = 32 − 11 = 21

Atsakymas

p = /21
20.IPv4 potinkliai

Atsakymas: x = 64

VLSM: kiekvienas LAN gauna mažiausią potinklį, kuriame 2ʰ − 2 ≥ jo mazgų skaičius, t. y. prefiksą 32 − h. Pirmiausia skiriant didžiausius potinklius, kiekvienas blokas lygiuojamas į savo dydžio kartotinį, todėl tinklų adresai gaunami sudedant bloko dydžius.

Kiekvieno LAN bloko dydis

B: 34 mazgai → 26 = 64 (/26)
A: 23 mazgai → 25 = 32 (/27)
D: 14 mazgai → 24 = 16 (/28)
E: 13 mazgai → 24 = 16 (/28)
C: 5 mazgai → 23 = 8 (/29)

Skirstymas, pradedant didžiausiu

B: .0 – .63
A: .64 – .95
D: .96 – .111
E: .112 – .127
C: .128 – .135

Atsakymas

x = 64

LAN A: 192.168.249.64/27.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals