Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės: dvejetainė 2^k, aštuntainė 8^k, šešioliktainė 16^k
Į dešimtainę: Σ d_k·b^k
Iš dešimtainės: dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė: vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas: invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė: netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Trigeriai: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai: n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis: f_max = 1/(n·t_pd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai: n ir 2n būsenų

Metodas

Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis: 256 − (mask octet)
Tinklo adresas: IP AND kaukė
Transliacijos adresas: IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų: 2ⁿ

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis

Nustatykite bitus, kad jie saugotų −105 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?

N = −1058 bit

U =

2.Skaičiavimo sistemosSunkus

Koks yra didžiausias sveikasis skaičius be ženklo N, telpantis į 20 bitus?

20 bit

N =

3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p))

N =

4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Duotos prielaidos r ∨ p; ¬r ∨ q. Kokia išvada iš jų išplaukia? Spustelėkite ją.

r ∨ p¬r ∨ q

1p ∧ q
2r ∨ q
3¬p
4p ∨ q

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis

Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C) = Σm(1, 2, 6, 7) sumų sandaugos (POS) formą. Kiek sumos narių (daugiklių) N ji turi?

F(A, B, C) = Σm(1, 2, 6, 7)

N =

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus

Funkcijai F(A, B, C, D) = Σm(1, 6, 8, 10, 13) + d(2, 5), kur d žymi nesvarbias sąlygas, raskite esminių pagrindinių implikantų skaičių N.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 6, 8, 10, 13) + d(2, 5)

N =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite 19 atvirkštinį moduliu 37: skaičių x, kur 0 < x < 37 ir 19·x ≡ 1 (mod 37).

a = 19n = 37

19⁻¹ mod 37 =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

Kartotiniu kėlimu kvadratu raskite 11⁵⁰ mod 63.

a = 11k = 50n = 63

11⁵⁰ mod 63 =

9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Godusis algoritmas:

AIšbando kiekvieną galimą sprendinį
BNaudoja tik rekursiją
CKiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
DVisada pateikia optimalų sprendinį

10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra dvejetainės krūvos sudarymo iš n nesurikiuotų elementų metodu „iš apačios į viršų“ (bottom-up) laiko sudėtingumas?

AO(n log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(log n)

11.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas nutinka, kai maišos lentelė, jos užpildymo koeficientui viršijus slenkstį, atlieka pakartotinį maišymą (rehash)?

AĮ naują perpildos sąrašą lentelės gale perkeliami tik susidūrę raktai
BEsami raktai surikiuojami vietoje
CSeniausi raktai pašalinami vietai atlaisvinti
DIšskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo

12.Duomenų struktūrosSunkus

Kuris teiginys apie rikiavimą krūva (heapsort) teisingas?

AJis stabilus ir jam reikia O(n) papildomos atminties
BSu bet kokia įvestimi jis veikia per O(n)
CJam reikia dvejetainio paieškos medžio kaip papildomos atminties, todėl jis naudoja O(n) papildomos atminties
DJis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

13.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₆? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₆

H =

14.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

Ką atlieka ROLLBACK TO SAVEPOINT s1?

AIštrina išsaugojimo tašką ir visas nuo tada pakeistas lenteles
BAtšaukia pakeitimus, padarytus po išsaugojimo taško s1, palikdamas transakciją atvirą
CAtšaukia visą transakciją nuo pradžios
DUžbaigia transakciją ir viską patvirtina

16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Du budintys gydytojai kiekvienas patikrina, kad kitas vis dar budi, ir abu tuo pačiu metu atsijungia. Kurią anomaliją čia vis dar gali leisti momentinės kopijos izoliacija (snapshot isolation)?

ARašymo iškreipimą (write skew)
BNešvarų skaitymą
CNepakartojamą skaitymą vienoje transakcijoje
DNešvarų rašymą

17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

HTTP nesaugo būsenos. Kaip svetainės paprastai išlaiko naudotoją prisijungusį tarp užklausų?

ASaugodamos slaptažodį URL adrese
BSlapukais, kuriuose yra seanso identifikatorius ar žetonas
CSuteikdamos kiekvienam naudotojui fiksuotą IP adresą
DLaikydamos TCP ryšį atvirą kelias dienas

18.Kompiuterių tinklaiSunkus

DNS podėlio apnuodijimo (DNS cache poisoning) ataka siekiama:

APriversti resolverį išsaugoti netikrą domeno IP adresą
BPavogti Wi-Fi slaptažodžius
CPerkrauti serverį srautu, kad jis nustotų atsakinėti į užklausas
DIštrinti DNS serverius

19.IPv4 potinkliaiVidutinis

Skyriui viename potinklyje reikia 943 mazgų adresų. Koks yra ilgiausias prefiksas p (mažiausias potinklis), kurio pakanka?

943 hosts

p =

20.IPv4 potinkliaiSunkus

Mazgo adresas yra 10.20.7.250/27. Koks yra paskutinio naudojamo mazgo adreso jo potinklyje ketvirtasis oktetas x?

10.20.7.250/27

x =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: U = 151

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Invertuokite ir pridėkite vienetą

105 = 0110 1001

invertuota: 1001 0110

+1 → 1001 0111

Perskaitykite be ženklo

1001 0111₂ = 256 − 105 = 151

Atsakymas

U = 151

2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: N = 1,049 × 10⁶

Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.

Didžiausia reikšmė

2²⁰ − 1 = 1048575

Atsakymas

N = 1048575

3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 3

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

p = 1, q = 1, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ q = 0, (¬r ∧ q) ∨ q = 1, r ↔ p = 1, p ∧ (r ↔ p) = 1, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 0, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ q = 1, (¬r ∧ q) ∨ q = 1, r ↔ p = 0, p ∧ (r ↔ p) = 0, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ q = 0, (¬r ∧ q) ∨ q = 0, r ↔ p = 1, p ∧ (r ↔ p) = 1, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 0, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ q = 0, (¬r ∧ q) ∨ q = 0, r ↔ p = 0, p ∧ (r ↔ p) = 0, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ q = 0, (¬r ∧ q) ∨ q = 1, r ↔ p = 0, p ∧ (r ↔ p) = 0, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ q = 1, (¬r ∧ q) ∨ q = 1, r ↔ p = 1, p ∧ (r ↔ p) = 0, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: ¬r = 0, ¬r ∧ q = 0, (¬r ∧ q) ∨ q = 0, r ↔ p = 0, p ∧ (r ↔ p) = 0, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: ¬r = 1, ¬r ∧ q = 0, (¬r ∧ q) ∨ q = 0, r ↔ p = 1, p ∧ (r ↔ p) = 0, ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 1, ((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)) = 0

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

((¬r ∧ q) ∨ q) ∧ ¬(p ∧ (r ↔ p)): 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0

N = 3

Atsakymas

N = 3

4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: p ∨ q

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Eilutės, kuriose visos prielaidos teisingos

p = 1, q = 1, r = 1: p ∧ q = 1, r ∨ q = 1, ¬p = 0, p ∨ q = 1

p = 1, q = 1, r = 0: p ∧ q = 1, r ∨ q = 1, ¬p = 0, p ∨ q = 1

p = 1, q = 0, r = 0: p ∧ q = 0, r ∨ q = 0, ¬p = 0, p ∨ q = 1

p = 0, q = 1, r = 1: p ∧ q = 0, r ∨ q = 1, ¬p = 1, p ∨ q = 1

Išvada

p ∨ q (skiriamoji geba)

Atsakymas

p ∨ q

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 3

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Sugrupuokite nulius

Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.

(B + C)

(A′ + B)

(A + B′ + C′)

Minimali POS forma

F = (B + C)(A′ + B)(A + B′ + C′)

N = 3

Atsakymas

N = 3

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 4

Pagrindiniai implikantai

Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.

B′CD′, BC′D, A′C′D, A′CD′, AB′D′

Esminiai pagrindiniai implikantai

BC′D, A′C′D, A′CD′, AB′D′

N = 4

Atsakymas

N = 4

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 19⁻¹ mod 37 = 2

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Išplėstinis Euklido algoritmas

Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·19 (mod 37).

r = 37, t = 0

r = 19, q = 1, t = 1

r = 18, q = 1, t = −1

r = 1, q = 18, t = 2

Atvirkštinė

1 ≡ 2·19 (mod 37)

x = 2

patikra: 19·2 = 38 = 1·37 + 1

Atsakymas

19⁻¹ mod 37 = 2

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 11⁵⁰ mod 63 = 58

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Dvejetainis rodiklis

50 = 110010₂ = 32 + 16 + 2

Kartotinis kėlimas kvadratu

11¹ ≡ 11 (mod 63)

11² ≡ 58 (mod 63)

11⁴ ≡ 25 (mod 63)

D · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

13.Grafų teorija

Atsakymas: H = 60

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Atsakymas

H = 60

14.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 18

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 4

B (4): C: 6, D: 15

C (6): E: 10, G: 10

E (10): F: 18

G (10)

D (15)

F (18)

Trumpiausias kelias

A → B → C → E → F

Reikalingi mazgo bitai

2⁹ − 2 = 510 < 943

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 943 → h = 10

Prefikso ilgis

p = 32 − 10 = 22

Atsakymas

p = /22

20.IPv4 potinkliai

Atsakymas: x = 254

Bloko dydis

2⁵ = 32

Šio mazgo potinklis

tinklas: ⌊250/32⌋·32 = 224

transliacija: 224 + 32 − 1 = 255

naudojami mazgai: 225 … 254

Atsakymas

x = 254

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals